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原子の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理原子

電気量 $+ Z e$ （ $Z$ は正の整数）の原子核のまわりを、質量 $m$ 、電気量 $- e$ の電子 1 個が、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている原子（イオン）を考える。原子核は静止しているものとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ 、プランク定数を $h$ とする。電子の円運動はボーアの量子条件 $m v r = n \frac{h}{2 π}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ 、 $v$ は電子の速さ）を満たすものとし、静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。

基底状態（ $n = 1$ ）にあるこの電子を無限遠まで引き離して静止させるのに必要な最小のエネルギー（イオン化エネルギー）を、 $m$ , $e$ , $k$ , $h$ , $Z$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

水素原子のエネルギー準位（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「水素原子のエネルギー準位」の技能を使う。運動エネルギーと静電気力による位置エネルギー（無限遠基準）の和を求め、量子条件で軌道半径を決める。

ヒント 2

向心力の式 $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k Z e ^{2}}{r ^{2}}$ を使うと、エネルギーは $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{k Z e ^{2}}{r} = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ と表せる。

ヒント 3

量子条件と向心力の式から $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k Z m e ^{2}} n^{2}$ 。これを $E = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ に代入して $n = 1$ とし、無限遠で静止した状態（エネルギー $0$ ）との差を考える。

答えと解説

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\frac{2 π ^{2} k ^{2} Z ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}

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解説を読む

手順1：円運動の運動方程式

電子にはたらく静電気力が向心力になるので
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k Z e ^{2}}{r ^{2}} (1)$
よって $m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{r}$ である。

手順2：エネルギーを $r$ で表す

運動エネルギーは $(1)$ より $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ 、無限遠基準の静電気力による位置エネルギーは $- \frac{k Z e ^{2}}{r}$ なので、電子のエネルギーは
$E = \frac{k Z e ^{2}}{2 r} - \frac{k Z e ^{2}}{r} = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r} (2)$

手順3：量子条件から $r_{n}$ を求める

量子条件 $m v r = n \frac{h}{2 π}$ より $v = \frac{nh}{2 π m r}$ 。これを $(1)$ を変形した $m v^{2} r = k Z e^{2}$ に代入すると
$m \cdot \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m ^{2} r ^{2}} \cdot r = k Z e^{2} ⟹ r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k Z m e ^{2}} n^{2}$

手順4：エネルギー準位

$(2)$ に代入して
$E_{n} = - \frac{k Z e ^{2}}{2} \cdot \frac{4 π ^{2} k Z m e ^{2}}{h ^{2} n ^{2}} = - \frac{2 π ^{2} k ^{2} Z ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}} \cdot \frac{1}{n ^{2}}$

手順5：イオン化エネルギー

無限遠で静止した電子のエネルギーは $0$ である。基底状態 $n = 1$ のエネルギーは $E_{1} = - \frac{2 π ^{2} k ^{2} Z ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}$ なので、必要な最小のエネルギーは
$0 - E_{1} = \frac{2 π ^{2} k ^{2} Z ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}$
（ $Z = 1$ とすると水素原子のイオン化エネルギーになる。）

別解

電子の円運動の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{r} = k \frac{Z e ^{2}}{r ^{2}}$ であり、これより $m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{r}$ 。

量子条件 $m v r = n \frac{h}{2 π}$ から $v = \frac{nh}{2 π m r}$ 。これを $m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{r}$ に代入すると、
$\frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m r ^{2}} = \frac{k Z e ^{2}}{r}$ より
$r = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} mk Z e ^{2}}$ 。

エネルギーは、運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ 、位置エネルギー $- \frac{k Z e ^{2}}{r}$ なので、全エネルギーは
$E_{n} = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r} = - \frac{2 π ^{2} m k ^{2} Z ^{2} e ^{4}}{n ^{2} h ^{2}}$ 。

$n = 1$ では $E_{1} = - \frac{2 π ^{2} m k ^{2} Z ^{2} e ^{4}}{h ^{2}}$ 。
無限遠で静止した状態のエネルギーは 0 なので、必要な最小エネルギーは $0 - E_{1} = \frac{2 π ^{2} m k ^{2} Z ^{2} e ^{4}}{h ^{2}}$ 。

検算：水素 $Z = 1$ では $E = \frac{2 π ^{2} m k ^{2} e ^{4}}{h ^{2}} \approx 13.6 eV$ となり、よく知られた値と一致する。

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