原子の問題

ボーアの水素原子模型を考える。電気量 $+e$ の原子核（陽子）は静止しているとみなす。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子は、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしているとする。電子は原子核から受ける静電気力を向心力として運動する。静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とし、$-\frac{k{e}^2}{r}$ と表される。ここで $k$ はクーロンの法則の比例定数である。また電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ とすると、量子条件 $mvr=n\frac{h}{2\pi }$（$n$ は正の整数）が成り立つ。

基底状態（$n=1$）にある水素原子をイオン化する（電子を無限遠まで引き離し、そこで静止させる）のに必要な最小のエネルギーを、$k$, $m$, $e$, $h$ を用いて表せ。

電気量 $+Ze$（$Z$ は正の整数）の原子核のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子 1 個が、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている原子（イオン）を考える。原子核は静止しているものとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。電子の円運動はボーアの量子条件 $mvr=n\frac{h}{2\pi }$（$n=1,2,3,\cdots$、$v$ は電子の速さ）を満たすものとし、静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。

基底状態（$n=1$）にあるこの電子を無限遠まで引き離して静止させるのに必要な最小のエネルギー（イオン化エネルギー）を、$m$, $e$, $k$, $h$, $Z$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。電荷 $+e$ の原子核（陽子）は静止しているものとし、そのまわりを質量 $m$、電荷 $-e$ の電子が、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は原子核からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。電子の速さを $v$ とすると、ボーアの量子条件は、正の整数 $n$（量子数）を用いて
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }$$
と表される。量子数 $n=2$ の軌道の半径 $r$ を、$m$, $e$, $k$, $h$ を用いて表せ。

水素原子のエネルギー準位は、量子数を $n(n=1,2,3,\dots )$ として
$$E_n=-\frac{13.6}{n^2}[\text{eV}]$$
で表される。電子が $n=3$ の状態から $n=2$ の状態へ移るとき、水素原子は光子を 1 個放出する。この光（バルマー系列で最も波長の長い光）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.63\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$（$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$）とする。