原子の問題

ボーアの水素原子模型を考える。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子を中心として、半径 $r$、速さ $v$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。

ボーアの量子条件は、「電子の軌道の円周の長さ $2\pi r$ が、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長 $\lambda$ の整数倍になる」という条件
$$2\pi r=n\lambda (n=1,2,3,\dots )$$
で表される。量子数 $n$ の軌道をまわる電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$, $n$ を用いて表せ。

静止していた電子を、電圧 $150\text{V}$ で加速した。加速後の電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、電子の質量を $m=9.1\times 10^{-31}\text{kg}$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とし、相対論的な効果は無視する。

水素原子のエネルギー準位は、量子数を $n(n=1,2,3,\dots )$ として
$$E_n=-\frac{13.6}{n^2}[\text{eV}]$$
で表される。電子が $n=3$ の状態から $n=2$ の状態へ移るとき、水素原子は光子を 1 個放出する。この光（バルマー系列で最も波長の長い光）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.63\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$（$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$）とする。

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。電荷 $+e$ の原子核（陽子）は静止しているものとし、そのまわりを質量 $m$、電荷 $-e$ の電子が、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は原子核からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。電子の速さを $v$ とすると、ボーアの量子条件は、正の整数 $n$（量子数）を用いて
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }$$
と表される。量子数 $n=2$ の軌道の半径 $r$ を、$m$, $e$, $k$, $h$ を用いて表せ。