原子の問題

X 線管で、陰極から出た初速度 $0$ の電子を電圧 $V$ で加速して陽極に当て、X 線を発生させた。このとき発生する X 線のうち、波長が最も短い X 線（連続 X 線の最短波長の X 線）を、格子面の間隔が一定の結晶に当てたところ、格子面となす角（視射角）$\theta$ の方向で 1 次のブラッグ反射が観測された。

次に、同じ結晶の同じ格子面に、初速度 $0$ から電圧 $V^{\prime }$ で加速した電子線を当てたところ、同じ視射角 $\theta$ の方向で 1 次のブラッグ反射が観測された。$V^{\prime }$ を $V$、電子の質量 $m$、電気素量 $e$、真空中の光の速さ $c$ を用いて表せ。ただし、電子の速さは光の速さに比べて十分小さく、相対性理論による効果は考えなくてよい。プランク定数を $h$ とし、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長は、電子の運動量の大きさを $p$ として $\frac{h}{p}$ で表されるものとする。

真空の光電管の陰極に、波長 $4.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の単色光を、毎秒 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{J}$ のエネルギー（仕事率 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{W}$）で当てる。この光で陰極では光電効果が起こり、陰極に入射した光子 $50$ 個あたり平均 $1$ 個の割合で光電子が飛び出す。陽極には陰極に対して十分高い電位を与えてあり、飛び出した光電子はすべて陽極に達する。

このとき光電管を流れる電流（飽和電流）の大きさは何 A か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、真空中の光の速さを $3.0\times 10^{8}m/s$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

光電管の陰極に、波長 $5.0\times 10^{-7}\text{m}$ の単色光を、毎秒 $2.0\times 10^{-3}\text{J}$ のエネルギー（仕事率 $2.0\text{mW}$）で当てたところ、光電効果が起こった。陰極に当たった光子のうち $1.0\%$ が、それぞれ 1 個ずつ光電子を飛び出させるものとする。陽極の電位を陰極より十分高くして、飛び出した光電子がすべて陽極に達するようにしたとき、光電管を流れる電流（飽和電流）の大きさは何 $\mu \text{A}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $6.6\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$、真空中の光の速さを $3.0\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とする。

真空中を一定の速さで運動している電子があり、その物質波（ド・ブロイ波）の波長は $\lambda$ であった。電子の質量を $m$、プランク定数を $h$ とする。この電子の運動エネルギー $K$ を、$m$, $h$, $\lambda$ を用いて表せ。ただし、電子の速さは光の速さに比べて十分小さく、運動エネルギーは $\frac{1}{2}m{v}^2$ で表されるものとする。

重水素の原子核 ${}_1^2\mathrm{H}$ と三重水素の原子核 ${}_1^3\mathrm{H}$ が核融合すると、次の核反応が起こる。
$${}_1^2\mathrm{H}+{}_1^3\mathrm{H}⟶{}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm{n}$$
核子 1 個あたりの結合エネルギーは、${}_1^2\mathrm{H}$ が $1.11\text{MeV}$、${}_1^3\mathrm{H}$ が $2.83\text{MeV}$、${}_2^4\mathrm{He}$ が $7.07\text{MeV}$ である。反応前の ${}_1^2\mathrm{H}$ と ${}_1^3\mathrm{H}$ の運動エネルギーと運動量は無視できるほど小さく、この反応で放出されたエネルギーはすべて ${}_2^4\mathrm{He}$ と中性子の運動エネルギーになるものとする。また、${}_2^4\mathrm{He}$ と中性子の質量の比は $4:1$ とし、速さは光の速さに比べて十分小さいものとする。反応後の中性子の運動エネルギーは何 $\text{MeV}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。