波動関数の規格化と確率解釈

$\int ∣ ψ (x) ∣^{2} d x = 1$ から規格化定数を決め、粒子をある区間に見いだす確率 $\int_{a}^{b} ∣ ψ ∣^{2} d x$ を求められる

前提

物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
広義積分（大学数学微分積分）

この技能までの道筋（78 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）

説明

量子力学では、1 次元を運動する粒子の状態を波動関数 $ψ (x)$ で表し、 $∣ ψ (x) ∣^{2}$ を「粒子が位置 $x$ 付近に見いだされる確率の密度」と解釈します。この技能では、全区間で確率の合計が 1 になる条件 $\int_{- \infty}^{\infty} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x = 1$ （規格化条件）から波動関数の係数（規格化定数）を決め、粒子を区間 $a \leq x \leq b$ に見いだす確率 $\int_{a}^{b} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x$ を計算できるようになります。箱の中の粒子や、指数関数・ガウス関数の形の波動関数で位置の確率を求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

物質波の考え方では粒子は波としてふるまいますが、測定すると粒子は必ずどこか 1 点に見つかります。そこで「波の強さ」にあたる $∣ ψ (x) ∣^{2}$ を確率の密度と読みます。ここで $∣ ψ ∣^{2}$ は $ψ$ の絶対値の 2 乗で、 $ψ$ が実数値なら単に $ψ (x)^{2}$ 、複素数値なら $ψ$ とその共役複素数の積です。確率密度とは、幅 $d x$ の小区間 $[x, x + d x]$ に粒子が見つかる確率が $∣ ψ (x) ∣^{2} d x$ になる、という意味です。

確率密度なので、小区間の確率を足し合わせた（積分した） $\int_{a}^{b} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x$ が区間 $[a, b]$ に粒子を見いだす確率になります。粒子はどこかには必ず見つかるので、全区間で足すと 1 でなければなりません。これが規格化条件 $\int_{- \infty}^{\infty} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x = 1$ です。無限区間の積分なので広義積分として計算し、収束することも必要です（収束しない関数は規格化できません）。

波動関数を定数倍しても表す物理状態は変わらないので、ふつうは $ψ (x) = A f (x)$ と係数 $A$ を残して書き、規格化条件から $∣ A ∣^{2} \int ∣ f (x) ∣^{2} d x = 1$ として $∣ A ∣$ を決めます。 $A$ には絶対値 1 の複素数倍の自由度が残りますが、通常は正の実数に選びます。

手順

波動関数を $ψ (x) = A f (x)$ の形に書き、 $ψ = 0$ となる範囲（粒子が存在しない範囲）を確認する
確率密度 $∣ ψ (x) ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} ∣ f (x) ∣^{2}$ を作る（実数値なら $A^{2} f (x)^{2}$ ）
規格化条件 $\int_{- \infty}^{\infty} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x = 1$ を、 $ψ \neq = 0$ の範囲だけで積分して計算し（無限区間は広義積分として極限をとる）、 $A$ を正の実数として求める
求めたい区間 $[a, b]$ で $P = \int_{a}^{b} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x$ を計算する
得られた確率が $0 \leq P \leq 1$ に入っているかを確かめる

例題

幅 $L$ の 1 次元の箱に閉じ込められた粒子の波動関数が、 $0 \leq x \leq L$ で $ψ (x) = A sin \frac{π x}{L}$ 、それ以外で $ψ (x) = 0$ で与えられている（ $A > 0$ は定数）。この粒子を区間 $0 \leq x \leq \frac{L}{4}$ に見いだす確率を求めよ。

例題の解答

手順 1： $ψ (x) = A sin \frac{π x}{L}$ で、 $x < 0$ と $x > L$ では $ψ = 0$ 。

手順 2：確率密度は $∣ ψ (x) ∣^{2} = A^{2} sin^{2} \frac{π x}{L}$ （ $0 \leq x \leq L$ ）。

手順 3：半角の公式 $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ を使うと
$\int_{0}^{L} A^{2} sin^{2} \frac{π x}{L} d x = A^{2} [\frac{x}{2} - \frac{L}{4 π} sin \frac{2 π x}{L}]_{0}^{L} = \frac{A ^{2} L}{2}$
これが 1 なので $A^{2} = \frac{2}{L}$ 、 $A > 0$ より $A = \frac{2}{L}$ 。

手順 4：求める確率は
$P = \frac{2}{L} \int_{0}^{L /4} sin^{2} \frac{π x}{L} d x = \frac{2}{L} [\frac{x}{2} - \frac{L}{4 π} sin \frac{2 π x}{L}]_{0}^{L /4} = \frac{2}{L} (\frac{L}{8} - \frac{L}{4 π} sin \frac{π}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 π}$

手順 5： $\frac{1}{2 π} \approx 0.159$ なので $P \approx 0.091$ で、 $0 \leq P \leq 1$ に入っている。中央付近で確率密度が大きい波形なので、端の $\frac{1}{4}$ の区間の確率が $\frac{1}{4}$ より小さいことも納得できる。

答え: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2 π}$

よくある誤り

$ψ$ そのものを積分して $\int ψ d x = 1$ としてしまう誤り。確率密度は $∣ ψ ∣^{2}$ なので、正しくは $\int ∣ ψ (x) ∣^{2} d x = 1$ 。たとえば $ψ = A sin \frac{π x}{L}$ では $\int_{0}^{L} A sin \frac{π x}{L} d x = \frac{2 A L}{π}$ ではなく $\int_{0}^{L} A^{2} sin^{2} \frac{π x}{L} d x = \frac{A ^{2} L}{2}$ を 1 とおく
2 乗するときに指数の中を 2 倍し忘れる誤り。 $ψ = A e^{- ∣ x ∣/ a}$ なら $∣ ψ ∣^{2} = A^{2} e^{- 2∣ x ∣/ a}$ で、 $\int_{- \infty}^{\infty} A^{2} e^{- 2∣ x ∣/ a} d x = A^{2} a = 1$ より $A = \frac{1}{a}$ 。 $e^{- ∣ x ∣/ a}$ のまま積分して $A = \frac{1}{2 a}$ とするのは誤り
規格化条件から $A^{2}$ を求めたあと、 $A$ でなく $A^{2}$ の値を答えたり、 $A$ を求めたのに確率の計算で 2 乗し忘れたりする誤り。 $A = \frac{2}{L}$ なら確率密度の係数は $A^{2} = \frac{2}{L}$
$ψ = 0$ の範囲まで同じ式で積分してしまう誤り。箱の外では $ψ = 0$ なので、 $\int_{- \infty}^{\infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = \int_{0}^{L} ∣ ψ ∣^{2} d x$ と、 $ψ \neq = 0$ の範囲だけで積分する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 次元の $x$ 軸上を運動する粒子の、ある時刻の波動関数が
$ψ (x) = {A x (L - x) 0 (0 \leq x \leq L) (x < 0, x > L)$
で与えられている。ここで $L > 0$ は定数、 $A$ は正の実数の規格化定数である。この時刻に粒子の位置を測定したとき、粒子が区間 $0 \leq x \leq \frac{L}{4}$ に見いだされる確率を、既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））