時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件

区分的に一定なポテンシャルで $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} + V ψ = E ψ$ の各領域の解（振動解・指数関数解）を書き、境界で $ψ$ と $ψ^{'}$ の連続条件を立てられる

前提

波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

説明

ポテンシャル $V (x)$ がいくつかの区間ごとに一定の値をとる場合（井戸型ポテンシャル・階段型ポテンシャル・障壁など）、時間に依存しないシュレーディンガー方程式 $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} + V ψ = E ψ$ は各区間で定数係数の 2 階線形微分方程式になり、一般解をすぐに書けます。この技能では、各区間の解（ $E > V$ なら振動解、 $E < V$ なら指数関数解）を書き、区間の境目で $ψ$ と $ψ^{'}$ がつながるという条件（接続条件）を立てて未知の係数を決められるようになります。量子井戸のエネルギー準位、粒子の反射・透過、トンネル効果などを調べる出発点です。

なぜそうしてよいのか

区間の中では $V = V_{0}$ （定数）なので、方程式は $ψ^{''} = - \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ ^{2}} ψ$ と書き直せます。これは $y^{''} + b y = 0$ の形の定数係数斉次方程式で、特性方程式 $λ^{2} + \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ ^{2}} = 0$ を解けば一般解が得られます。 $E > V_{0}$ なら $k = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ} > 0$ として $λ = \pm ik$ となり、一般解は $A e^{ik x} + B e^{- ik x}$ （または $C sin k x + D cos k x$ ）の振動解です。 $E < V_{0}$ なら $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} > 0$ として $λ = \pm κ$ となり、一般解は $C e^{κ x} + D e^{- κ x}$ の指数関数解です（ $E = V_{0}$ のときは重解 $λ = 0$ で $C + D x$ ）。 $e^{ik x}$ は運動量 $ℏ k$ で右に進む波、 $e^{- ik x}$ は左に進む波を表し、 $ℏ k = 2 m (E - V_{0})$ は古典的な運動エネルギー $E - V_{0}$ に対応する運動量です。

境目 $x = a$ では、方程式を $a - ε$ から $a + ε$ まで積分すると
$ψ^{'} (a + ε) - ψ^{'} (a - ε) = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} \int_{a - ε}^{a + ε} (V - E) ψ d x$
となります。 $V$ が有限で $ψ$ が有界なら右辺は $ε \to 0$ で $0$ になるので、 $ψ^{'}$ は境目で連続です。 $ψ^{'}$ が（有限の値をとって）存在するので $ψ$ 自身も連続です。こうして各境目で「 $ψ$ の値が等しい」「 $ψ^{'}$ の値が等しい」という 2 本の式が得られ、これで区間ごとにばらばらだった解の係数が結びつきます。

ただし、 $V = \infty$ の壁（無限に深い井戸の壁）では右辺の積分が有限とは限らないので、 $ψ^{'}$ の連続性は使えません。この場合は壁の中で $ψ = 0$ となり、 $ψ$ の連続性（壁の位置で $ψ = 0$ ）だけを課します。また、 $x \to \pm \infty$ まで続く区間で $E < V_{0}$ のときは、無限大に発散する指数関数（例： $x \to + \infty$ での $e^{κ x}$ ）は確率解釈と両立しないので係数を $0$ にします。

手順

ポテンシャルが一定の区間ごとに分け、各区間で $E$ と $V$ の大小を比べる
$E > V$ の区間では $k = \frac{2 m ( E - V )}{ℏ}$ として $ψ = A e^{ik x} + B e^{- ik x}$ （または $C sin k x + D cos k x$ ）、 $E < V$ の区間では $κ = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ}$ として $ψ = C e^{κ x} + D e^{- κ x}$ と書く（係数の文字は区間ごとに別のものを使う）
物理的な条件で不要な項を落とす：無限に続く区間で発散する指数関数の係数を $0$ にする、入射波だけが来る問題では反対側から来る波の係数を $0$ にするなど
有限の段差がある各境目 $x = a$ で $ψ (a - 0) = ψ (a + 0)$ 、 $ψ^{'} (a - 0) = ψ^{'} (a + 0)$ を立てる（ $V = \infty$ の壁では $ψ = 0$ だけ）
得られた連立方程式を解いて係数の比を求め、必要なら規格化条件などで残りを決める

例題

質量 $m$ の粒子が、 $x < 0$ で $V = 0$ 、 $x > 0$ で $V = V_{0}$ （ $V_{0} > 0$ ）の階段型ポテンシャルに左から入射する。エネルギーは $0 < E < V_{0}$ である。 $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ , $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ とおき、波動関数を $x < 0$ で $ψ = e^{ik x} + R e^{- ik x}$ 、 $x > 0$ で $ψ = C e^{- κ x}$ とする（ $R$ , $C$ は複素定数）。 $x = 0$ での接続条件から $∣ C ∣^{2}$ を求め、 $E$ , $V_{0}$ を用いて表せ。

例題の解答

【手順 1】 $x < 0$ では $E > V = 0$ 、 $x > 0$ では $E < V = V_{0}$ 。

【手順 2】 $x < 0$ では振動解 $e^{ik x}$ （入射波）と $R e^{- ik x}$ （反射波）、 $x > 0$ では指数関数解 $F e^{κ x} + C e^{- κ x}$ （ $F$ , $C$ は定数）。

【手順 3】 $x \to + \infty$ で発散しないように $e^{κ x}$ の係数を $F = 0$ とし、 $x > 0$ で $ψ = C e^{- κ x}$ 。（問題文の形と一致する。）

【手順 4】 $x = 0$ での接続条件。
$ψ$ の連続： $1 + R = C$
$ψ^{'}$ の連続： $x < 0$ で $ψ^{'} = ik (e^{ik x} - R e^{- ik x})$ 、 $x > 0$ で $ψ^{'} = - κ C e^{- κ x}$ なので $ik (1 - R) = - κ C$

【手順 5】2 式目の両辺を $ik$ で割ると $1 - R = \frac{- κ C}{ik} = \frac{iκ}{k} C$ 。1 式目と足して $2 = C (1 + \frac{iκ}{k})$ 、よって
$C = \frac{2 k}{k + iκ}$
したがって $∣ C ∣^{2} = \frac{4 k ^{2}}{∣ k + iκ ∣ ^{2}} = \frac{4 k ^{2}}{k ^{2} + κ ^{2}}$ 。ここで $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ , $k^{2} + κ^{2} = \frac{2 m V _{0}}{ℏ ^{2}}$ なので
$∣ C ∣^{2} = \frac{4 E}{V _{0}}$
（参考：同様に $R = \frac{k - iκ}{k + iκ}$ で $∣ R ∣ = 1$ 、すなわち全反射だが、 $x > 0$ にも $∣ ψ ∣^{2} = ∣ C ∣^{2} e^{- 2 κ x}$ だけしみ込んでいる。）

答え: $\frac{4 E}{V _{0}}$

よくある誤り

$E < V$ の区間でも $ψ = A e^{ik x} + B e^{- ik x}$ と振動解を書き、 $k = 2 m (E - V) /ℏ$ に負の数の平方根を入れてしまう誤り。正しくは $E < V$ では $κ = 2 m (V - E) /ℏ > 0$ として $ψ = C e^{κ x} + D e^{- κ x}$ と書く
$x > 0$ がどこまでも続くのに $e^{κ x}$ の項を残してしまう誤り。正しくは $x \to + \infty$ で $∣ ψ ∣^{2}$ が発散して確率解釈と両立しないので、その係数は $0$ にする（ $x < 0$ 側に無限に続く区間なら逆に $e^{- κ x}$ の係数を $0$ にする）
$ψ^{'}$ を接続するときに指数の中の係数を掛け忘れ、例えば $(e^{- ik x})^{'} = e^{- ik x}$ や $(C e^{- κ x})^{'} = κ C e^{- κ x}$ としてしまう誤り。正しくは $(e^{- ik x})^{'} = - ik e^{- ik x}$ 、 $(C e^{- κ x})^{'} = - κ C e^{- κ x}$ で、符号まで含めて接続する
無限に深い井戸の壁 $x = 0$ でも $ψ^{'}$ の連続を課し、 $ψ^{'} (0) = 0$ としてしまう誤り。正しくは $V = \infty$ の壁では $ψ^{'}$ は不連続でよく、課すのは $ψ (0) = 0$ だけ（例えば井戸内で $ψ = A sin k x$ は $ψ^{'} (0) = A k \neq = 0$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、1 次元の階段型ポテンシャル
$V (x) = {0 V_{0} (x < 0) (x \geq 0) (V_{0} > 0)$
の中を運動している。粒子のエネルギーは $E = \frac{4}{3} V_{0}$ であり、粒子は $x < 0$ の側から $+ x$ 向きに入射する。時間に依存しないシュレーディンガー方程式
$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x)$
の解を
$ψ (x) = {A e^{i k_{1} x} + B e^{- i k_{1} x} C e^{i k_{2} x} (x < 0) (x \geq 0)$
とおく。ここで $k_{1} = \frac{2 m E}{ℏ}$ 、 $k_{2} = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ 、 $A \neq = 0$ であり、 $ℏ$ はディラック定数である（ $x \geq 0$ に $+ x$ 向きの波だけがあるのは、右から入射する波がないためである）。 $x = 0$ での接続条件を用いて、反射率 $R = \frac{B}{A}^{2}$ を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
有限の深さの井戸型ポテンシャルの束縛状態（大学物理量子力学（1 次元の問題））
確率流密度と透過率（トンネル効果）（大学物理量子力学（1 次元の問題））
WKB 近似（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
部分波展開と位相のずれ（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
アハラノフ・ボーム効果（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））