部分波展開と位相のずれ

動径方程式の解を外側で $u_{l} \propto sin (k r - \frac{l π}{2} + δ_{l})$ と書いて境界・接続条件から位相のずれ $δ_{l}$ を求め、 $f (θ) = \frac{1}{k} \sum_{l} (2 l + 1) e^{i δ_{l}} sin δ_{l} P_{l} (cos θ)$ 、 $σ = \frac{4 π}{k ^{2}} \sum_{l} (2 l + 1) sin^{2} δ_{l}$ から断面積を計算できる（剛体球・井戸型・デルタ殻など）

前提

ベッセル関数による展開（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
水素原子のエネルギー準位と波動関数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
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定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
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自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）
ベッセル関数の母関数と級数の和（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ラプラス変換と逆変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
級数の項別積分（大学院数学測度論・実解析）
ベッセル関数のラプラス変換と積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ベッセル関数による展開（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
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慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
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水素原子のエネルギー準位（高校物理原子）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
水素原子のエネルギー準位と波動関数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

球対称なポテンシャル $V (r)$ による散乱では、波動関数を角運動量 $l$ ごとの成分（部分波）に分けると、ポテンシャルの影響は各部分波の「位相のずれ」 $δ_{l}$ という 1 つの実数にまとめられます。 $δ_{l}$ は、動径方程式を解いてポテンシャルの外側で $u_{l} \propto sin (k r - \frac{l π}{2} + δ_{l})$ と書き、境界条件や接続条件を課すことで求まります。 $δ_{l}$ がわかれば、散乱振幅 $f (θ)$ と全断面積 $σ$ が公式から直ちに計算できます。剛体球・井戸型ポテンシャル・デルタ殻など、到達距離が有限なポテンシャルの低エネルギー散乱で特に威力を発揮します。

なぜそうしてよいのか

波動関数を $ψ = \sum_{l} R_{l} (r) P_{l} (cos θ)$ と展開し、 $u_{l} = r R_{l}$ とおくと、シュレーディンガー方程式は
$u_{l}^{''} + [k^{2} - \frac{l ( l + 1 )}{r ^{2}} - \frac{2 m}{ℏ ^{2}} V (r)] u_{l} = 0, k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$
という 1 次元の方程式になります。 $r$ が十分大きく $V$ も遠心力項も無視できるところでは、 $u_{l}^{''} + k^{2} u_{l} = 0$ の実数解は $sin (k r + 定数)$ の形です。ポテンシャルがないときの解は平面波の展開 $e^{ik z} = \sum_{l} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{l} (cos θ)$ に含まれる $j_{l} (k r)$ で、遠方では $j_{l} (k r) \approx \frac{s i n ( k r - l π /2 )}{k r}$ です。そこでポテンシャルがあるときの遠方の解を $\frac{s i n ( k r - l π /2 + δ _{l} )}{k r}$ と書き、自由な場合からのずれを $δ_{l}$ と定義します。ポテンシャルの中で波が速く（引力）または遅く（斥力）進んだ結果が、外側では位相の進み・遅れとして残るのです。

散乱振幅との関係は次のように出ます。 $ψ \approx \sum_{l} A_{l} \frac{s i n ( k r - l π /2 + δ _{l} )}{k r} P_{l}$ とし、 $sin x = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i}$ と分けます。ポテンシャルは外向き波を付け加えるだけで、入ってくる球面波 $e^{- ik r}$ の部分は平面波と同じはずなので、 $A_{l} e^{- i δ_{l}} = i^{l} (2 l + 1)$ 、つまり $A_{l} = i^{l} (2 l + 1) e^{i δ_{l}}$ です。すると $ψ - e^{ik z}$ には外向き波だけが残り、 $i^{l} e^{- i l π /2} = 1$ を使うと
$ψ - e^{ik z} \approx \frac{e ^{ik r}}{r} l \sum (2 l + 1) \frac{e ^{2 i δ_{l}} - 1}{2 ik} P_{l} (cos θ)$
となります。 $\frac{e ^{2 i δ_{l}} - 1}{2 i} = e^{i δ_{l}} sin δ_{l}$ なので $f (θ) = \frac{1}{k} \sum_{l} (2 l + 1) e^{i δ_{l}} sin δ_{l} P_{l} (cos θ)$ です。

全断面積 $σ = \int ∣ f ∣^{2} d Ω$ は、ルジャンドル多項式の直交性 $\int P_{l} P_{l^{'}} d Ω = \frac{4 π}{2 l + 1} δ_{l l^{'}}$ によって交差項が消え、 $σ = \frac{4 π}{k ^{2}} \sum_{l} (2 l + 1) sin^{2} δ_{l}$ となります。ポテンシャルの到達距離を $a$ とすると、古典的には衝突径数 $b = l / k$ が $a$ より大きい部分波は散乱されないので、 $k a ≪ 1$ の低エネルギーでは $l = 0$ （s 波）だけを考えれば十分です。

手順

$k = 2 m E /ℏ$ を確認し、低エネルギー（ $k a ≪ 1$ ）なら $l = 0$ だけ、そうでなければ必要な $l$ まで考える部分波を決める
ポテンシャルの外側 $r > a$ で動径関数を $u_{l}$ （ $l = 0$ なら $u_{0} = C sin (k r + δ_{0})$ ）と書く
内側の解（井戸型なら $sin K r$ 、剛体球なら $u = 0$ など）を書き、 $r = a$ で境界条件または $u$ と $u^{'}$ （あるいは対数微分 $u^{'} / u$ ）の接続条件を立てる
条件から $tan δ_{l}$ または $δ_{l}$ を解く（ $δ_{l}$ は $π$ の整数倍の不定性があるが、 $sin^{2} δ_{l}$ や $e^{i δ_{l}} sin δ_{l}$ には影響しない）
$f (θ) = \frac{1}{k} \sum_{l} (2 l + 1) e^{i δ_{l}} sin δ_{l} P_{l} (cos θ)$ 、 $σ = \frac{4 π}{k ^{2}} \sum_{l} (2 l + 1) sin^{2} δ_{l}$ に代入する

例題

質量 $m$ の粒子が、半径 $a$ の剛体球ポテンシャル（ $r < a$ で $V = \infty$ 、 $r > a$ で $V = 0$ ）によって散乱される。入射粒子の波数を $k$ とし、エネルギーが低いので $l = 0$ の部分波だけが散乱に寄与する（ $l \geq 1$ の位相のずれは無視する）とする。全断面積 $σ$ を $k, a$ で表せ。

例題の解答

手順 1：問題の指定どおり $l = 0$ だけを考える。

手順 2：外側 $r > a$ では $V = 0$ で $l = 0$ の遠心力項もないので、 $u_{0}^{''} + k^{2} u_{0} = 0$ の解を $u_{0} = C sin (k r + δ_{0})$ と書ける。

手順 3： $r < a$ では $V = \infty$ なので波動関数は 0。 $r = a$ で波動関数が連続であるためには $u_{0} (a) = 0$ 。（無限大の壁なので $u^{'}$ の連続は課さない。）

手順 4： $sin (k a + δ_{0}) = 0$ より $k a + δ_{0} = nπ$ （ $n$ は整数）。 $π$ の整数倍は断面積に影響しないので $δ_{0} = - k a$ ととる。斥力なので位相は遅れる（負）。

手順 5：
$σ = \frac{4 π}{k ^{2}} (2 \cdot 0 + 1) sin^{2} δ_{0} = \frac{4 π}{k ^{2}} sin^{2} (k a) .$
（参考： $k a \to 0$ では $sin k a \approx k a$ より $σ \to 4 π a^{2}$ となり、幾何学的な断面積 $π a^{2}$ の 4 倍になる。）

答え: $\frac{4 π sin ^{2} ( k a )}{k ^{2}}$

よくある誤り

外側の解の位相を $sin (k r + δ_{l})$ と $l$ によらず書いてしまう誤り。自由な解の遠方の形が $sin (k r - \frac{l π}{2})$ なので、正しくは $u_{l} \propto sin (k r - \frac{l π}{2} + δ_{l})$ で、 $δ_{l}$ はそこからのずれ（ $l = 0$ のときだけ $sin (k r + δ_{0})$ ）。
全断面積で $(2 l + 1)$ や $\frac{4 π}{k ^{2}}$ を落とし、 $σ = \frac{1}{k ^{2}} \sum_{l} sin^{2} δ_{l}$ などとしてしまう誤り。直交性 $\int P_{l}^{2} d Ω = \frac{4 π}{2 l + 1}$ から、正しくは $σ = \frac{4 π}{k ^{2}} \sum_{l} (2 l + 1) sin^{2} δ_{l}$ 。
散乱振幅を $f = \frac{1}{k} \sum_{l} (2 l + 1) sin δ_{l} P_{l}$ と位相因子 $e^{i δ_{l}}$ を落としてしまう誤り。正しくは $f = \frac{1}{k} \sum_{l} (2 l + 1) e^{i δ_{l}} sin δ_{l} P_{l} (cos θ)$ 。位相因子は全断面積の公式には現れないが、微分断面積 $∣ f ∣^{2}$ では異なる $l$ の干渉項に効く。
井戸型ポテンシャル（ $r < a$ で $V = - V_{0}$ ）で内側の解を $cos K r$ も含めて $A sin K r + B cos K r$ とする誤り。 $u_{l} = r R_{l}$ で $R_{l}$ が原点で有限なので $u_{0} (0) = 0$ が必要で、正しくは内側は $u_{0} = A sin K r$ （ $K = 2 m (E + V_{0}) /ℏ$ ）。接続から $k cot (k a + δ_{0}) = K cot K a$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、半径 $a > 0$ の剛体球ポテンシャル
$V (r) = {\infty 0 (r < a) (r > a)$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数 $k$ は $k a = \frac{π}{6}$ をみたすとする。
$l = 0$ （s 波）の動径関数 $u_{0} (r) = r R_{0} (r)$ は $r > a$ で $u_{0} \propto sin (k r + δ_{0})$ と書ける。境界条件 $u_{0} (a) = 0$ から位相のずれ $δ_{0}$ を求め、全断面積への s 波の寄与
$σ_{0} = \frac{4 π}{k ^{2}} sin^{2} δ_{0}$
を $a$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

光学定理とユニタリー性の上限（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
低エネルギー散乱と散乱長（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））