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発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）

質量 $m$ の粒子が、次の球対称なデルタ殻ポテンシャルによって散乱される。
$V (r) = \frac{ℏ ^{2} g}{2 m} δ (r - R)$
ここで $g > 0$ （斥力）、 $R > 0$ は定数である。入射粒子のエネルギーを $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ （ $k > 0$ ）とし、 $s$ 波の位相のずれ $δ_{0}$ を用いて、散乱長 $a$ を
$δ_{0} ≃ - k a (k \to 0)$
で定義する。エネルギーが $0$ に近づく極限 $k \to 0$ での全断面積 $k \to 0 lim σ_{tot}$ を、 $g$ と $R$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

低エネルギー散乱と散乱長（説明と入口の問題）
部分波展開と位相のずれ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（160 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

低エネルギーでは $s$ 波だけが効き、全断面積は散乱長 $a$ を用いて $4 π a^{2}$ となる。散乱長を求めればよい。

ヒント 2

$u = r ψ$ とおくと、 $r = R$ で $u$ は連続で、 $u^{'} (R + 0) - u^{'} (R - 0) = g u (R)$ となる。ゼロエネルギーでは内側の解が $u = A r$ 、外側の解が $u = B (r - a)$ と書ける。

ヒント 3

接続条件から $B = A (1 + g R)$ と $A R = B (R - a)$ が得られる。ここから $a$ を $g$ と $R$ で表す。

答えと解説

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\frac{4 π g ^{2} R ^{4}}{( 1 + g R ) ^{2}}

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解説を読む

部分波展開 全断面積は位相のずれ $δ_{l}$ を用いて
$σ_{tot} = \frac{4 π}{k ^{2}} l = 0 \sum \infty (2 l + 1) sin^{2} δ_{l}$
と書ける（これは光学定理 $Im f (0) = \frac{k}{4 π} σ_{tot}$ と整合する）。ポテンシャルは $r > R$ で $0$ となる有限到達距離のものなので、低エネルギーでは $δ_{l} \propto k^{2 l + 1}$ となる。よって $l \geq 1$ の寄与は $sin^{2} δ_{l} / k^{2} \propto k^{4 l} \to 0$ となって消え、 $s$ 波だけが残る。 $δ_{0} ≃ - k a$ を代入すると
$k \to 0 lim σ_{tot} = k \to 0 lim \frac{4 π}{k ^{2}} sin^{2} (k a) = 4 π a^{2}$
となる。あとは散乱長 $a$ を求めればよい。

$s$ 波の動径方程式 $ψ = \frac{u ( r )}{r}$ とおくと、 $l = 0$ の動径方程式は
$u^{''} + k^{2} u = g δ (r - R) u$
となる。境界条件は $u (0) = 0$ である。 $r = R$ の前後で積分すると、 $u$ は連続で、微分は
$u^{'} (R + 0) - u^{'} (R - 0) = g u (R)$
だけ飛ぶ。

ゼロエネルギー極限（ $k \to 0$ ） このとき $u^{''} = 0$ （ $r \neq = R$ ）なので、解は
- $r < R$ ： $u = A r$ （ $u (0) = 0$ より）
- $r > R$ ： $u = B (r - a)$

と書ける。外側の解の形は、有限の $k$ での外側の解 $u \propto sin (k r + δ_{0}) ≃ k (r + \frac{δ _{0}}{k}) = k (r - a)$ の $k \to 0$ 極限であり、零点の位置 $r = a$ が散乱長を与える。

接続条件を書くと、
- 連続性： $A R = B (R - a)$
- 微分の飛び： $B - A = g A R$ 、すなわち $B = A (1 + g R)$

となる。これを連続性の式に代入すると
$R = (1 + g R) (R - a) ⟹ R - a = \frac{R}{1 + g R} ⟹ a = \frac{g R ^{2}}{1 + g R}$
を得る。

検算（有限の $k$ ） 内側を $A sin k r$ 、外側を $B sin (k r + δ_{0})$ とおいて接続すると
$cot (k R + δ_{0}) = cot k R + \frac{g}{k}$
となる。 $k \to 0$ で $δ_{0} = - k a$ とおくと $\frac{1}{k ( R - a )} = \frac{1}{k R} + \frac{g}{k}$ となり、同じ $a$ が得られる。

結果
$k \to 0 lim σ_{tot} = 4 π a^{2} = \frac{4 π g ^{2} R ^{4}}{( 1 + g R ) ^{2}}$

なお $g \to \infty$ では $a \to R$ となり、剛体球の結果 $4 π R^{2}$ に一致する。

別解

$s$ 波の動径関数 $u (r) = r R (r)$ は $u^{''} + k^{2} u = g δ (r - R) u$ を満たす。 $k \to 0$ では $k^{2}$ の項を落とせる。

内側 ( $r < R$ ) は $u = A r$ (原点で $u (0) = 0$ )。外側 ( $r > R$ ) は $u = B (r - a)$ 。これは $u \propto sin (k r + δ_{0}) \to k (r - a)$ ( $δ_{0} ≃ - k a$ ) に対応する。

接続条件は次の2つ。
- $u$ の連続性: $A R = B (R - a)$
- 微分の跳び: $u^{'} (R^{+}) - u^{'} (R^{-}) = g u (R)$ より $B - A = g A R$ 、すなわち $B = A (1 + g R)$

これを連続性の式に代入すると $R = (1 + g R) (R - a)$ となる。よって $a = R - \frac{R}{1 + g R} = \frac{g R ^{2}}{1 + g R}$ 。

$k \to 0$ では $s$ 波だけが効くので、全断面積は $σ_{tot} = 4 π a^{2}$ である。したがって
$σ_{tot} = \frac{4 π g ^{2} R ^{4}}{( 1 + g R ) ^{2}} .$

検算: $g R \to \infty$ で $a \to R$ 、 $σ \to 4 π R^{2}$ となり、剛体球の結果に一致する。 $g \to 0$ では $a \to 0$ となり、これも妥当。

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