発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

質量 $m$ の粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{は実数の定数},a>0)$$
によって散乱される。$\hslash$ はディラック定数とする。入射波を $e^{ikz}$（$k>0$ は波数）とし、遠方での波動関数を
$$\psi (\mathbf{r})\simeq e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r}$$
と書く。散乱振幅 $f(\theta )$ を第 1 ボルン近似で求め、それを用いて全断面積
$$\sigma =\int |f(\theta ){|}^{2}d\Omega$$
を $m,V_0,a,\hslash ,k$ を用いて表せ。ポテンシャルの中心は空間に固定されているものとする（反跳は考えない）。

質量 $m$ の非相対論的な粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{ は実定数},a>0)$$
によって散乱される。入射粒子の波数を $k>0$（エネルギー $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$）とし、散乱振幅は第 1 ボルン近似で評価する。散乱振幅 $f$ は、入射平面波 $e^{ikz}$ に対して漸近形 $\psi \sim e^{ikz}+f(\theta )e^{ikr}/r$ で定義する。このとき、全断面積 $\sigma$ を $m,V_0,a,k,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)\left(R>0,g=\frac{2}{R}\right)$$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $u_0(0)=0$ をみたし、$r=R$ で連続で、導関数は
$$u_0^{\prime }(R+0)-u_0^{\prime }(R-0)=g{u}_0(R)$$
の跳びをもつ。

エネルギー $0$（$k=0$）の s 波の解は $r>R$ で $u_0\propto r-a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k\to 0$ での全断面積 $\sigma =4\pi a^2$ を $R$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a>0$ の剛体球ポテンシャル
$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\infty & (r<a)\\ 0& (r>a)\end{array}$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数 $k$ は $ka=\frac{\pi }{6}$ をみたすとする。

$l=0$（s 波）の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $r>a$ で $u_0\propto \sin (kr+{\delta }_0)$ と書ける。境界条件 $u_0(a)=0$ から位相のずれ ${\delta }_0$ を求め、全断面積への s 波の寄与
$${\sigma }_0=\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^2{\delta }_0$$
を $a$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、次の球対称なデルタ殻ポテンシャルによって散乱される。
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)$$
ここで $g>0$（斥力）、$R>0$ は定数である。入射粒子のエネルギーを $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k>0$）とし、$s$ 波の位相のずれ ${\delta }_0$ を用いて、散乱長 $a$ を
$${\delta }_0\simeq -ka(k\to 0)$$
で定義する。エネルギーが $0$ に近づく極限 $k\to 0$ での全断面積 $\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{tot}}$ を、$g$ と $R$ を用いて表せ。