発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)\left(R>0,g=\frac{2}{R}\right)$$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $u_0(0)=0$ をみたし、$r=R$ で連続で、導関数は
$$u_0^{\prime }(R+0)-u_0^{\prime }(R-0)=g{u}_0(R)$$
の跳びをもつ。

エネルギー $0$（$k=0$）の s 波の解は $r>R$ で $u_0\propto r-a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k\to 0$ での全断面積 $\sigma =4\pi a^2$ を $R$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称な指数関数型ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r/a}(V_0\text{は 0 でない実定数},a>0)$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数を $k>0$、散乱角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

球対称ポテンシャルに対する 1 次のボルン近似の散乱振幅
$$f^{(1)}(\theta )=-\frac{2m}{{\hslash }^{2}q}{\int }_0^{\infty }rV(r)\sin (qr)dr,q=2k\sin \frac{\theta }{2}$$
と微分断面積 $\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f^{(1)}(\theta ){|}^2$ を用いる。ただし $\theta =0$（$q=0$）での値は $q\to 0$ の極限で定める。

$ka=1$ のとき、後方散乱（$\theta =\pi$）の微分断面積と前方散乱（$\theta =0$）の微分断面積の比
$$\frac{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =\pi }}{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =0}}$$
を既約分数で求めよ。

質量 $m$ の非相対論的な粒子が、次の球対称ポテンシャルによって 3 次元で散乱される。
$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\infty & (0\le r<b)\\ \frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)& (r\ge b)\end{array}$$
ここで $b$, $R$ は $0<b<R$ を満たす定数、$g$ は正の定数（反発的なデルタ殻）である。すなわち、半径 $b$ の剛体球の外側に、半径 $R$ の球殻状のデルタ関数ポテンシャルがある。

入射粒子の波数を $k$ とする。エネルギーを $0$ に近づけた極限 $k\to 0$ における全散乱断面積 ${\sigma }_0=\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{tot}}(k)$ を、$b$, $R$, $g$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、次の球対称なデルタ殻ポテンシャルによって散乱される。
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)$$
ここで $g>0$（斥力）、$R>0$ は定数である。入射粒子のエネルギーを $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k>0$）とし、$s$ 波の位相のずれ ${\delta }_0$ を用いて、散乱長 $a$ を
$${\delta }_0\simeq -ka(k\to 0)$$
で定義する。エネルギーが $0$ に近づく極限 $k\to 0$ での全断面積 $\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{tot}}$ を、$g$ と $R$ を用いて表せ。

波数 $k>0$ の粒子の、吸収（非弾性過程）をともなう散乱を考える。散乱振幅は部分波展開で
$$f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\frac{S_l-1}{2ik}{P}_l(\cos \theta )$$
と書け、ここでは $l=0$ の部分波だけが散乱に寄与し、$S_0=\frac{1}{2}$、$S_l=1(l\ge 1)$ であるとする（$P_l$ はルジャンドル多項式で $P_l(1)=1$）。

光学定理 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}=\frac{4\pi }{k}\mathrm{Im}f(0)$ を用いて、全断面積 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$（弾性散乱と吸収の断面積の和）を $k$ を用いて表せ。