角運動量の固有状態と昇降演算子

交換関係 $[J_{x}, J_{y}] = i ℏ J_{z}$ から $J^{2}$ , $J_{z}$ の固有値 $j (j + 1) ℏ^{2}$ , $m ℏ$ を使い、昇降演算子 $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ で行列要素や期待値を計算できる

前提

固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））

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算数中学高校大学大学院

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内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

角運動量 $J = (J_{x}, J_{y}, J_{z})$ は、 $J^{2}$ と $J_{z}$ を同時に決めた状態 $∣ j, m ⟩$ で表すのが基本です。この技能では、固有値 $J^{2} ∣ j, m ⟩ = j (j + 1) ℏ^{2} ∣ j, m ⟩$ , $J_{z} ∣ j, m ⟩ = m ℏ∣ j, m ⟩$ と、 $m$ を 1 つ上げ下げする昇降演算子 $J_{\pm}$ を使って、 $⟨ j, m^{'} ∣ J_{x} ∣ j, m ⟩$ のような行列要素や $⟨ J_{x}^{2} ⟩$ のような期待値を、波動関数の積分なしに代数的に計算できるようになります。原子の軌道角運動量、スピン、磁場中のエネルギー準位などの計算で使います。

なぜそうしてよいのか

角運動量の成分は交換関係 $[J_{x}, J_{y}] = i ℏ J_{z}$ , $[J_{y}, J_{z}] = i ℏ J_{x}$ , $[J_{z}, J_{x}] = i ℏ J_{y}$ を満たし、 $J^{2} = J_{x}^{2} + J_{y}^{2} + J_{z}^{2}$ はどの成分とも交換します。そこで調和振動子の $a^$ , $a^^{†}$ にならって $J_{\pm} = J_{x} \pm i J_{y}$ を作ると、交換関係から $[J_{z}, J_{\pm}] = \pm ℏ J_{\pm}$ が出ます。これより $J_{z} (J_{\pm} ∣ j, m ⟩) = (J_{\pm} J_{z} \pm ℏ J_{\pm}) ∣ j, m ⟩ = (m \pm 1) ℏ J_{\pm} ∣ j, m ⟩$ となり、 $J_{\pm}$ をかけると $J_{z}$ の固有値がちょうど $ℏ$ だけ上下します（ $J^{2}$ とは交換するので $j$ は変わりません）。だから $J_{\pm} ∣ j, m ⟩$ は $∣ j, m \pm 1 ⟩$ の定数倍です。

その定数は長さの 2 乗から決まります。 $J_{\mp} J_{\pm} = J_{x}^{2} + J_{y}^{2} \pm i [J_{x}, J_{y}] = J^{2} - J_{z}^{2} \mp ℏ J_{z}$ で、 $J_{\pm}$ のエルミート共役は $J_{\mp}$ なので
$∥ J_{\pm} ∣ j, m ⟩ ∥^{2} = ⟨ j, m ∣ J_{\mp} J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ^{2} {j (j + 1) - m^{2} \mp m} = ℏ^{2} (j \mp m) (j \pm m + 1) .$
位相を正の実数に選ぶ約束をすると $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ が得られます。長さの 2 乗は負になれないので、上げ続け・下げ続けはどこかで $0$ にならなければならず、 $m$ は $- j, - j + 1, \dots, j$ の $2 j + 1$ 個に限られます（ $j$ は $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \dots$ ）。実際 $m = j$ で $J_{+}$ の係数、 $m = - j$ で $J_{-}$ の係数が $0$ になります。

$J_{x}, J_{y}$ は $J_{\pm}$ から $J_{x} = \frac{J _{+} + J _{-}}{2}$ , $J_{y} = \frac{J _{+} - J _{-}}{2 i}$ と書き戻せます。したがって $J_{x}, J_{y}$ を含む行列要素や期待値は、 $J_{\pm}$ で状態を動かしてから、異なる $∣ j, m ⟩$ どうしの内積が $0$ （正規直交）であることを使えば計算できます。

手順

求めたい量に出てくる $J_{x}, J_{y}$ を $J_{x} = \frac{J _{+} + J _{-}}{2}$ , $J_{y} = \frac{J _{+} - J _{-}}{2 i}$ で昇降演算子に書き換える（ $J^{2}$ , $J_{z}$ はそのまま固有値 $j (j + 1) ℏ^{2}$ , $m ℏ$ に置き換えられる）
右側の状態 $∣ j, m ⟩$ に演算子を右から順に作用させる。 $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ （ $J_{+} ∣ j, j ⟩ = 0$ , $J_{-} ∣ j, - j ⟩ = 0$ ）
左側の状態 $⟨ j, m^{'} ∣$ との内積をとり、正規直交性 $⟨ j, m^{'} ∣ j, m^{''} ⟩ = δ_{m^{'} m^{''}}$ （ $m^{'} = m^{''}$ なら 1、それ以外は 0）で残る項だけを集める
係数の根号を計算して整理する

例題

角運動量の固有状態 $∣ j, m ⟩$ （ $J^{2} ∣ j, m ⟩ = j (j + 1) ℏ^{2} ∣ j, m ⟩$ , $J_{z} ∣ j, m ⟩ = m ℏ∣ j, m ⟩$ 、正規直交）について、昇降演算子 $J_{\pm} = J_{x} \pm i J_{y}$ は $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ をみたすとする。 $j = 1$ のとき、行列要素 $⟨ 1, 1∣ J_{x} ∣1, 0 ⟩$ を $ℏ$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1（書き換え）: $J_{x} = \frac{J _{+} + J _{-}}{2}$ なので
$⟨ 1, 1∣ J_{x} ∣1, 0 ⟩ = \frac{1}{2} ⟨ 1, 1∣ J_{+} ∣1, 0 ⟩ + \frac{1}{2} ⟨ 1, 1∣ J_{-} ∣1, 0 ⟩ .$

手順 2（作用）: $j = 1$ , $m = 0$ で
$J_{+} ∣1, 0 ⟩ = ℏ (1 - 0) (1 + 0 + 1) ∣1, 1 ⟩ = 2 ℏ∣1, 1 ⟩$ 、
$J_{-} ∣1, 0 ⟩ = ℏ (1 + 0) (1 - 0 + 1) ∣1, - 1 ⟩ = 2 ℏ∣1, - 1 ⟩$ 。

手順 3（内積）: $⟨ 1, 1∣1, 1 ⟩ = 1$ , $⟨ 1, 1∣1, - 1 ⟩ = 0$ なので、第 2 項は消えて
$⟨ 1, 1∣ J_{x} ∣1, 0 ⟩ = \frac{1}{2} \cdot 2 ℏ = \frac{ℏ}{2} .$

手順 4（整理）: 答えは $\frac{ℏ}{2} = \frac{2}{2} ℏ$ 。

答え: $\frac{ℏ}{2}$

よくある誤り

根号の中の複号を取り違える誤り。 $J_{+} ∣ j, m ⟩$ の係数を $ℏ (j + m) (j - m + 1)$ としてしまうと、 $J_{+} ∣1, 1 ⟩ = 2 ℏ∣1, 2 ⟩$ のようにありえない状態が出てくる。正しくは $J_{+}$ が $ℏ (j - m) (j + m + 1)$ で、 $m = j$ で $0$ になる。 $J_{-}$ は $ℏ (j + m) (j - m + 1)$ で、 $m = - j$ で $0$ になる
$J^{2}$ の固有値を $j^{2} ℏ^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $j (j + 1) ℏ^{2}$ で、たとえば $j = 1$ なら $2 ℏ^{2}$ 。このため $J_{z}$ の最大値 $j ℏ$ を使っても $⟨ J_{x}^{2} + J_{y}^{2} ⟩ = j (j + 1) ℏ^{2} - m^{2} ℏ^{2} > 0$ が残る
$J_{x}$ , $J_{y}$ を昇降演算子に戻すときの係数を落とす誤り。 $J_{x} = J_{+} + J_{-}$ や $J_{y} = \frac{J _{+} - J _{-}}{2}$ としてしまう。正しくは $J_{x} = \frac{J _{+} + J _{-}}{2}$ , $J_{y} = \frac{J _{+} - J _{-}}{2 i}$
固有状態 $∣ j, m ⟩$ での $⟨ J_{x} ⟩$ を $0$ でない値にしてしまう誤り。 $J_{x} ∣ j, m ⟩$ は $∣ j, m \pm 1 ⟩$ の和なので $∣ j, m ⟩$ との内積は $0$ 、つまり $⟨ j, m ∣ J_{x} ∣ j, m ⟩ = 0$ 。一方 $⟨ J_{x}^{2} ⟩$ は $0$ にならず、 $⟨ j, m ∣ J_{x}^{2} ∣ j, m ⟩ = \frac{ℏ ^{2}}{2} {j (j + 1) - m^{2}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
角運動量演算子 $J = (J_{x}, J_{y}, J_{z})$ について、 $J^{2}$ と $J_{z}$ の規格化された同時固有状態を $∣ j, m ⟩$ とする（ $J^{2} ∣ j, m ⟩ = j (j + 1) ℏ^{2} ∣ j, m ⟩$ , $J_{z} ∣ j, m ⟩ = m ℏ∣ j, m ⟩$ ）。昇降演算子 $J_{\pm} = J_{x} \pm i J_{y}$ は
$J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$
とはたらき、 $∣ j, m ⟩$ どうしは $m$ が異なれば直交する。
状態 $∣2, 1 ⟩$ （ $j = 2$ , $m = 1$ ）における $J_{x}^{2}$ の期待値 $⟨ 2, 1∣ J_{x}^{2} ∣2, 1 ⟩$ を $ℏ$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
水素原子のエネルギー準位と波動関数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
2 原子分子の回転準位（大学物理原子・分子物理とレーザー）
ヒッグス機構とゲージボソンの質量（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
クォーク模型の多重項と量子数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
反強磁性体のスピン波（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
回転群の表現の点群への制限（結晶場分裂）（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
ウィグナーの D 関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））