ウィグナーの D 関数

$D_{m m^{'}}^{j} (α, β, γ) = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ を使い、 $j = \frac{1}{2}, 1$ などの小さい $j$ について $e^{- i β J_{y}}$ の行列指数関数から小 $d$ 行列の成分を求め、回転後の状態の成分や期待値を計算できる

前提

角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

角運動量 $j$ の状態 $∣ j, m^{'} ⟩$ を空間的に回転すると、同じ $j$ のいろいろな $m$ の状態の重ね合わせになります。その係数を並べたものがウィグナーの D 関数 $D_{m m^{'}}^{j} (α, β, γ) = ⟨ j, m ∣ R (α, β, γ) ∣ j, m^{'} ⟩$ で、オイラー角による回転では $D_{m m^{'}}^{j} = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ と $y$ 軸まわりの回転の行列 $d^{j} (β)$ （小 $d$ 行列）だけに帰着します。この技能では、 $j = \frac{1}{2}, 1$ などの小さい $j$ について $e^{- i β J_{y} /ℏ}$ を行列指数関数として計算して $d^{j}$ の成分を求め、回転後の状態の成分や測定確率・期待値を計算します。偏極した粒子の崩壊の角分布や、傾いた軸に沿ったスピンの測定などで使います。

なぜそうしてよいのか

回転角 $θ$ 、回転軸の単位ベクトル $n$ の回転は、状態には $e^{- i θ n \cdot J /ℏ}$ として作用します（角運動量は回転を生み出す演算子で、微小回転 $1 - i δ θ n \cdot J /ℏ$ を繰り返したものが指数関数になる）。任意の回転はオイラー角で「 $z$ 軸まわりに $γ$ 、 $y$ 軸まわりに $β$ 、 $z$ 軸まわりに $α$ 」と分解でき（右から順に作用）、
$R (α, β, γ) = e^{- i α J_{z} /ℏ} e^{- i β J_{y} /ℏ} e^{- iγ J_{z} /ℏ}$
と書けます。 $∣ j, m ⟩$ は $J_{z}$ の固有状態なので、両端の $z$ 回転は $⟨ j, m ∣$ と $∣ j, m^{'} ⟩$ にそれぞれ位相 $e^{- im α}$ 、 $e^{- i m^{'} γ}$ を付けるだけです。また $J_{y}$ は $J^{2}$ と交換するので $j$ は変わりません。こうして $D_{m m^{'}}^{j} = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ 、 $d_{m m^{'}}^{j} (β) = ⟨ j, m ∣ e^{- i β J_{y} /ℏ} ∣ j, m^{'} ⟩$ となります。

残る $d^{j} (β)$ は $(2 j + 1)$ 次の行列の指数関数です。 $J_{y} = \frac{J _{+} - J _{-}}{2 i}$ の行列を昇降演算子から作り、 $A = - i J_{y} /ℏ$ とおくと $A$ は実の交代行列で、 $d^{j} (β) = e^{β A}$ です。 $J_{y} /ℏ$ の固有値は $- j, \dots, j$ なので、最小多項式を使って指数関数の級数を有限項にまとめられます。 $j = \frac{1}{2}$ では $J_{y} = \frac{ℏ}{2} σ_{y}$ 、 $σ_{y}^{2} = I$ から
$d^{1/2} (β) = cos \frac{β}{2} I - i sin \frac{β}{2} σ_{y} = (cos \frac{β}{2} sin \frac{β}{2} - sin \frac{β}{2} cos \frac{β}{2})$
（行・列の順は $m = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$ ）。 $j = 1$ では固有値 $1, 0, - 1$ から $A^{3} = - A$ が成り立つので、 $e^{β A} = I + sin β A + (1 - cos β) A^{2}$ と閉じた形になります。

手順

回転を $R (α, β, γ) = e^{- i α J_{z} /ℏ} e^{- i β J_{y} /ℏ} e^{- iγ J_{z} /ℏ}$ の形に書き、オイラー角 $α, β, γ$ を読み取る
昇降演算子から $J_{y} = \frac{J _{+} - J _{-}}{2 i}$ の行列を $m = j, j - 1, \dots, - j$ の順の基底で作る（ $j = \frac{1}{2}$ なら $\frac{ℏ}{2} σ_{y}$ ）
$A = - i J_{y} /ℏ$ の指数関数 $d^{j} (β) = e^{β A}$ を計算する: $j = \frac{1}{2}$ は $cos \frac{β}{2} I + sin \frac{β}{2} (- i σ_{y})$ 、 $j = 1$ は $A^{3} = - A$ を使って $I + sin β A + (1 - cos β) A^{2}$
必要な成分に $z$ 回転の位相を付ける: $D_{m m^{'}}^{j} = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ （ $m$ は回転後の状態の行、 $m^{'}$ は回転前の状態の列）
回転後の状態 $R ∣ j, m^{'} ⟩ = \sum_{m} D_{m m^{'}}^{j} ∣ j, m ⟩$ から、成分・測定確率 $∣ D_{m m^{'}}^{j} ∣^{2} = ∣ d_{m m^{'}}^{j} (β) ∣^{2}$ ・期待値を計算する

例題

角運動量 $j = 1$ の状態 $∣1, 1 ⟩$ に回転 $R (α, β, γ) = e^{- i α J_{z} /ℏ} e^{- i β J_{y} /ℏ} e^{- iγ J_{z} /ℏ}$ を $α = \frac{π}{2}$ 、 $β = \frac{π}{3}$ 、 $γ = \frac{π}{4}$ で作用させる。回転後の状態の $∣1, - 1 ⟩$ 成分 $⟨ 1, - 1∣ R (α, β, γ) ∣1, 1 ⟩$ を求めよ。ただし $∣ j, m ⟩$ の位相は $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ を満たすように選ぶ。

例題の解答

手順 1: 求めるものは $D_{- 1, 1}^{1} (α, β, γ)$ で、 $m = - 1$ 、 $m^{'} = 1$ 。

手順 2: $J_{+} ∣1, 0 ⟩ = 2 ℏ∣1, 1 ⟩$ 、 $J_{+} ∣1, - 1 ⟩ = 2 ℏ∣1, 0 ⟩$ から、基底 $(∣1, 1 ⟩, ∣1, 0 ⟩, ∣1, - 1 ⟩)$ で
$\frac{J _{y}}{ℏ} = \frac{1}{2} 0 i 0 - i 0 i 0 - i 0, A = - \frac{i J _{y}}{ℏ} = \frac{1}{2} 010 - 1 01 0 - 1 0 .$

手順 3: $A^{2} = \frac{1}{2} - 1 01 0 - 2 0 10 - 1$ で、 $A^{3} = - A$ が確かめられる。よって $d^{1} (β) = I + sin β A + (1 - cos β) A^{2}$ 。 $(m, m^{'}) = (- 1, 1)$ は第 3 行第 1 列で、 $I$ と $A$ の成分は $0$ 、 $A^{2}$ の成分は $\frac{1}{2}$ なので
$d_{- 1, 1}^{1} (β) = \frac{1 - cos β}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} .$

手順 4: 位相を付けると
$D_{- 1, 1}^{1} = e^{- i (- 1) α} \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{- i (1) γ} = \frac{1}{4} e^{i (π /2 - π /4)} = \frac{1}{4} e^{iπ /4} = \frac{1 + i}{4 2} = \frac{2}{8} (1 + i) .$

手順 5: この成分の絶対値の 2 乗 $\frac{1}{16}$ が、回転後に $J_{z}$ を測定して $- ℏ$ を得る確率になる。

答え: $\frac{2}{8} (1 + i)$

よくある誤り

$j = \frac{1}{2}$ で半角を落とし、 $d_{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}^{1/2} (β) = cos β$ としてしまう誤り。 $J_{y} = \frac{ℏ}{2} σ_{y}$ なので指数は $- i \frac{β}{2} σ_{y}$ で、正しくは $d_{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}^{1/2} (β) = cos \frac{β}{2}$ （ $β = 2 π$ の回転で $- 1$ 倍になる）。
$z$ 回転の位相の符号や添字を取り違え、 $D_{m m^{'}}^{j} = e^{im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{i m^{'} γ}$ や $e^{- i m^{'} α} d_{m m^{'}}^{j} e^{- imγ}$ としてしまう誤り。 $α$ は左（回転後の $⟨ j, m ∣$ ）に、 $γ$ は右（回転前の $∣ j, m^{'} ⟩$ ）に作用するので、正しくは $D_{m m^{'}}^{j} = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ 。
非対角成分の符号を取り違え、 $d_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}^{1/2} (β) = + sin \frac{β}{2}$ や $d_{1, 0}^{1} (β) = + \frac{s i n β}{2}$ としてしまう誤り。 $- i σ_{y} = (01 - 1 0)$ から、正しくは $d_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}^{1/2} = - sin \frac{β}{2}$ 、 $d_{- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{1/2} = + sin \frac{β}{2}$ 、同様に $d_{1, 0}^{1} = - \frac{s i n β}{2}$ 、 $d_{0, 1}^{1} = + \frac{s i n β}{2}$ （一般に $d_{m^{'} m}^{j} (β) = (- 1)^{m - m^{'}} d_{m m^{'}}^{j} (β)$ ）。
$j = 1$ の指数関数を、 $β A$ の 1 次の項で打ち切って $d^{1} (β) \approx I + β A$ としたり、 $A^{2} = - I$ と思い込んで $cos β I + sin β A$ としてしまう誤り。 $j = 1$ では $A^{2} \neq = - I$ で、成り立つのは $A^{3} = - A$ なので、正しくは $d^{1} (β) = I + sin β A + (1 - cos β) A^{2}$ （例: $d_{00}^{1} = cos β$ 、 $d_{11}^{1} = \frac{1 + c o s β}{2}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$ℏ = 1$ とする。角運動量 $j = 1$ の状態 $∣1, 1 ⟩$ （ $J_{z}$ の固有値 $m = 1$ ）を、 $y$ 軸のまわりに角 $β = \frac{π}{3}$ だけ回転させた状態 $∣ ψ ⟩ = e^{- i β J_{y}} ∣1, 1 ⟩$ を考える。ここで $J_{y} = \frac{1}{2 i} (J_{+} - J_{-})$ , $J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = (j \mp m) (j \pm m + 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$ である。状態 $∣ ψ ⟩$ で $J_{z}$ を測定したとき、測定値 $0$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
角運動量演算子を $J$ とし、 $ℏ = 1$ とする。オイラー角 $(α, β, γ)$ で表した回転 $R$ に対するウィグナーの D 関数を
$D_{m m^{'}}^{j} (α, β, γ) = ⟨ j m ∣ e^{- i α J_{z}} e^{- i β J_{y}} e^{- iγ J_{z}} ∣ j m^{'} ⟩$
で定義する。角運動量の固有状態の位相は Condon–Shortley の流儀に従うものとする。範囲は $0 \leq α < 2 π$ , $0 \leq β \leq π$ , $0 \leq γ < 2 π$ とし、 $S O (3)$ 上の積分を
$\int d R f (R) = \frac{1}{8 π ^{2}} \int_{0}^{2 π} d α \int_{0}^{π} sin β d β \int_{0}^{2 π} d γ f (α, β, γ)$
と規格化する（ $\int d R 1 = 1$ ）。このとき積分
$I = \int d R D_{1, 0}^{1} (R) D_{0, 1}^{1} (R) [D_{1, 1}^{2} (R)]^{*}$
の値を、既約分数で求めよ。

この技能の次に学べること

3j 記号と D 関数の積の積分（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））