調和振動子と昇降演算子

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子を考える。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は、規格化されたエネルギー固有状態 $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$、$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）に対して
$$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
とはたらき（$\hat{a}|0⟩=0$）、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表される。ただし $⟨n|n^{\prime }⟩$ は $n=n^{\prime }$ のとき $1$、$n\ne n^{\prime }$ のとき $0$ である。

状態 $|2⟩$ における位置の 2 乗の期待値 $⟨2|{\hat{x}}^2|2⟩$ を、$m$, $\omega$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
のエネルギー固有値は $E_n^{(0)}=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$（$n=0,1,2,\dots$）、規格化された固有状態は $|n⟩$ である。生成・消滅演算子 $a^{†}$, $a$ を用いると
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†}),a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
が成り立つ。

この系に摂動 $H^{\prime }=\kappa x$（$\kappa$ は実定数）を加える。第 1 励起状態 $|1⟩$ のエネルギーの、$\kappa$ についての 2 次の摂動によるずれ $E_1^{(2)}$ を、非縮退摂動論を用いて $m$, $\omega$, $\kappa$ で表せ。ただし $m>0$, $\omega >0$ とする。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子（ハミルトニアン $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$）を考える。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものである。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ を用いると、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表され、規格化されたエネルギー固有状態 $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$）に対して $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ が成り立つ。粒子が状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|2⟩\right)$$
にあるとき、${\hat{x}}^2$ の期待値 $⟨\psi |{\hat{x}}^2|\psi ⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらないとする。1 粒子のハミルトニアンの規格化された固有状態を ${\phi }_n(x)$（$n=0,1,2,\dots$、エネルギー $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）とし、位置演算子は昇降演算子 $a,a^{†}$（$a{\phi }_n=\sqrt{n}{\phi }_{n-1}$、$a^{†}{\phi }_n=\sqrt{n+1}{\phi }_{n+1}$）を用いて
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$
と表される。

いま、1 粒子状態 ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ に 1 個ずつ粒子が入り、2 粒子の全スピンが $0$（スピン一重項）である状態にある。この状態における 2 粒子間の距離の 2 乗の期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、消滅演算子 $\hat{a}$・生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ を満たすとする。振動子が、消滅演算子の固有値 $\sqrt{2}$ の規格化された固有状態 $|\alpha ⟩$
$$\hat{a}|\alpha ⟩=\sqrt{2}|\alpha ⟩,⟨\alpha |\alpha ⟩=1$$
にあるとき、エネルギーを測定して $\frac{5}{2}\hslash \omega$ が得られる確率を求めよ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$$
を考える。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。消滅演算子を
$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right)$$
で定め、${\hat{a}}^{†}$ をその生成演算子とする。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩(n=0,1,2,\dots )$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とし、$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ が成り立つ。

時刻 $t=0$ で系は状態
$$|\psi (0)⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|0⟩+\frac{1}{2}|2⟩$$
にあり、その後はハミルトニアン $\hat{H}$ のもとで時間発展する。時刻 $t(t\geqq 0)$ における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ が、$t\geqq 0$ の範囲でとる最小値を $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$ を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、消滅演算子 $\hat{a}$・生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{p}=i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}\left({\hat{a}}^{†}-\hat{a}\right)$$
と表す。ここで $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ である。時刻 $t=0$ で振動子の状態が
$$|\psi (0)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|1⟩\right)$$
であり、その後シュレーディンガー方程式に従って時間発展する。時刻 $t$ での位置と運動量の標準偏差を $\Delta x(t)$, $\Delta p(t)$ とするとき、$t\geqq 0$ における積 $\Delta x(t)\Delta p(t)$ の最大値と最小値を、この順に $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$ を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$ を満たし、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表される。実数 $\alpha \geqq 0$ に対して、$\hat{a}|\alpha ⟩=\alpha |\alpha ⟩$、$⟨\alpha |\alpha ⟩=1$ を満たすコヒーレント状態 $|\alpha ⟩$ をとり、これに生成演算子を 1 回作用させて規格化した状態
$$|\psi ⟩=\frac{{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩}{\Vert {\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩\Vert }$$
を考える。状態 $|\psi ⟩$ における位置のゆらぎ $(\Delta x{)}^2=⟨\psi |{\hat{x}}^2|\psi ⟩-⟨\psi |\hat{x}|\psi {⟩}^2$ を $\alpha$ の関数とみなすとき、$\alpha \geqq 0$ の範囲での $(\Delta x{)}^2$ の最小値を $\hslash ,m,\omega$ を用いて求めよ。