量子力学（1 次元の問題）の問題

方針 交換関係 $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$ を使って $\hat{a}$ を右へ移し、コヒーレント状態の固有値方程式 $\hat{a}|\alpha ⟩=\alpha |\alpha ⟩$（およびその共役 $⟨\alpha |{\hat{a}}^{†}=\alpha ⟨\alpha |$、$\alpha$ は実数）で期待値を計算する。

交換関係から得られる公式 $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$ を繰り返し使うと、正の整数 $k$ に対して
$${\hat{a}}^k{\hat{a}}^{†}={\hat{a}}^{†}{\hat{a}}^k+k{\hat{a}}^{k-1}$$
が成り立つ（$k=1$ は交換関係そのもの。$k$ で成り立てば ${\hat{a}}^{k+1}{\hat{a}}^{†}=\hat{a}({\hat{a}}^{†}{\hat{a}}^k+k{\hat{a}}^{k-1})=({\hat{a}}^{†}\hat{a}+1){\hat{a}}^k+k{\hat{a}}^k={\hat{a}}^{†}{\hat{a}}^{k+1}+(k+1){\hat{a}}^k$）。

規格化
$${\Vert {\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩\Vert }^2=⟨\alpha |\hat{a}{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩=⟨\alpha |({\hat{a}}^{†}\hat{a}+1)|\alpha ⟩={\alpha }^2+1.$$
よって $⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩=\frac{⟨\alpha |\hat{a}\hat{A}{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩}{1+{\alpha }^2}$ である。

各期待値
- $⟨\hat{a}⟩$: ${\hat{a}}^2{\hat{a}}^{†}={\hat{a}}^{†}{\hat{a}}^2+2\hat{a}$ より $⟨\alpha |{\hat{a}}^2{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩={\alpha }^3+2\alpha$。よって $⟨\hat{a}⟩=\frac{\alpha ({\alpha }^2+2)}{1+{\alpha }^2}$。
- $⟨{\hat{a}}^2⟩$: ${\hat{a}}^3{\hat{a}}^{†}={\hat{a}}^{†}{\hat{a}}^3+3{\hat{a}}^2$ より $⟨{\hat{a}}^2⟩=\frac{{\alpha }^4+3{\alpha }^2}{1+{\alpha }^2}$。$\alpha$ が実数なので $⟨{\hat{a}}^{†}⟩=⟨\hat{a}⟩$、$⟨{\hat{a}}^{†2}⟩=⟨{\hat{a}}^2⟩$。
- $⟨{\hat{a}}^{†}\hat{a}⟩$: $\hat{a}{\hat{a}}^{†}\hat{a}{\hat{a}}^{†}=(\hat{N}+1{)}^2$（$\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$）。$⟨\alpha |\hat{N}|\alpha ⟩={\alpha }^2$、$⟨\alpha |{\hat{N}}^2|\alpha ⟩=⟨\alpha |{\hat{a}}^{†}({\hat{a}}^{†}\hat{a}+1)\hat{a}|\alpha ⟩={\alpha }^4+{\alpha }^2$ より
$$⟨{\hat{a}}^{†}\hat{a}⟩=\frac{{\alpha }^4+3{\alpha }^2+1}{1+{\alpha }^2}.$$

$\hat{a}+{\hat{a}}^{†}$ のゆらぎ $(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}{)}^2={\hat{a}}^2+{\hat{a}}^{†2}+2{\hat{a}}^{†}\hat{a}+1$ より
$$⟨(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}{)}^2⟩=\frac{2({\alpha }^4+3{\alpha }^2)+2({\alpha }^4+3{\alpha }^2+1)}{1+{\alpha }^2}+1=\frac{4{\alpha }^4+13{\alpha }^2+3}{1+{\alpha }^2},$$
$$⟨\hat{a}+{\hat{a}}^{†}{⟩}^2=\frac{4{\alpha }^2({\alpha }^2+2{)}^2}{(1+{\alpha }^2{)}^2}.$$
したがって
$$⟨(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}{)}^2⟩-⟨\hat{a}+{\hat{a}}^{†}{⟩}^2=\frac{(4{\alpha }^6+17{\alpha }^4+16{\alpha }^2+3)-(4{\alpha }^6+16{\alpha }^4+16{\alpha }^2)}{(1+{\alpha }^2{)}^2}=\frac{{\alpha }^4+3}{(1+{\alpha }^2{)}^2}.$$
よって
$$(\Delta x{)}^2=\frac{\hslash }{2m\omega }\cdot \frac{{\alpha }^4+3}{(1+{\alpha }^2{)}^2}.$$
（確認：$\alpha =0$ では $|\psi ⟩=|1⟩$ で $\frac{3\hslash }{2m\omega }$、$\alpha \to \infty$ ではコヒーレント状態の値 $\frac{\hslash }{2m\omega }$ に近づく。）

最小化 $u={\alpha }^2\geqq 0$ として $f(u)=\frac{u^2+3}{(1+u{)}^2}$ とおくと
$$f^{\prime }(u)=\frac{2u(1+u{)}^2-2(1+u)(u^2+3)}{(1+u{)}^4}=\frac{2(u-3)}{(1+u{)}^3}.$$
よって $0\leqq u<3$ で減少、$u>3$ で増加し、$u=3$（$\alpha =\sqrt{3}$）で最小値 $f(3)=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$ をとる。

したがって最小値は
$$(\Delta x{)}_{\min }^2=\frac{3}{4}\cdot \frac{\hslash }{2m\omega }=\frac{3\hslash }{8m\omega }$$
であり、基底状態の値 $\frac{\hslash }{2m\omega }$ より小さい（スクイーズされている）。

$c^2=\hslash /(2m\omega )$ とおくと $\hat{x}=c(\hat{a}+{\hat{a}}^{†})$。規格化定数は $\Vert {\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩{\Vert }^2=⟨\alpha |\hat{a}{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩={\alpha }^2+1$。

$⟨\psi |\hat{x}|\psi ⟩=\frac{c}{{\alpha }^2+1}⟨\alpha |\hat{a}(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}){\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩$。ここで $⟨{\hat{a}}^2{\hat{a}}^{†}⟩={\alpha }^3+2\alpha$、$⟨\hat{a}{\hat{a}}^{†2}⟩={\alpha }^3+2\alpha$ だから、$⟨\hat{x}⟩=\frac{2c({\alpha }^3+2\alpha )}{{\alpha }^2+1}$。

$⟨{\hat{x}}^2⟩=\frac{c^2}{{\alpha }^2+1}⟨\alpha |\hat{a}({\hat{a}}^2+{\hat{a}}^{†2}+\hat{a}{\hat{a}}^{†}+{\hat{a}}^{†}\hat{a}){\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩$。各項は $⟨{\hat{a}}^3{\hat{a}}^{†}⟩={\alpha }^4+3{\alpha }^2$、$⟨\hat{a}{\hat{a}}^{†3}⟩={\alpha }^4+3{\alpha }^2$、$⟨{\hat{a}}^2{\hat{a}}^{†2}⟩={\alpha }^4+4{\alpha }^2+2$、$⟨\hat{a}{\hat{a}}^{†}\hat{a}{\hat{a}}^{†}⟩={\alpha }^4+3{\alpha }^2+1$。和は $4{\alpha }^4+13{\alpha }^2+3$ なので、$⟨{\hat{x}}^2⟩=c^2\frac{4{\alpha }^4+13{\alpha }^2+3}{{\alpha }^2+1}$。

$s={\alpha }^2$ とおくと
$(\Delta x{)}^2/c^2=\frac{(4s^2+13s+3)(s+1)-4s(s+2{)}^2}{(s+1{)}^2}=\frac{s^2+3}{(s+1{)}^2}$。

$f(s)=\frac{s^2+3}{(s+1{)}^2}$ について $f^{\prime }(s)=\frac{2(s-3)}{(s+1{)}^3}$ なので、$s=3$ で最小となる。$f(3)=12/16=3/4$。他の値は $f(0)=3$、$f(\infty )=1$ で、これより大きい。

検算：$\alpha =0$ では $|\psi ⟩=|1⟩$ で、$(\Delta x{)}^2=3c^2$ となり $f(0)=3$ と一致する。

よって最小値は $\frac{3}{4}\cdot \frac{\hslash }{2m\omega }=\frac{3\hslash }{8m\omega }$（$\alpha =\sqrt{3}$ のとき）。