標準偏差と不確定性関係

1 次元の $x$ 軸上を運動する粒子の、ある時刻の波動関数が、三角形の形をした
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{3}{2a^3}}(a-|x|)& (-a\le x\le a)\\ 0& (x<-a,x>a)\end{array}$$
で与えられている（$a>0$ は定数で、$\psi$ は規格化されている）。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする（$\hslash$ はディラック定数）。位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$、$\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ とするとき、積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}Ax(L-x)& (0\le x\le L)\\ 0& (x<0,x>L)\end{array}$$
ここで $L$ は正の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。この状態での位置の不確定性 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ を $L$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中で基底状態
$${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}(0<x<L),{\psi }_1(x)=0(\text{それ以外})$$
にある。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)={\left(\frac{2a}{\pi }\right)}^{1/4}\exp \left[-(a-ib)x^2\right](-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$b$ は実数の定数で、$\psi$ は規格化されている。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。必要なら、$\alpha >0$ に対して
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }},{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha }\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$
を用いてよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x$ と運動量の標準偏差 $\Delta p$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$a,b,\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a>0$、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a$ は正の定数、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。$\psi$ は連続で、$x=0,\pm a$ を除いて微分可能なので、$⟨{\hat{p}}^2⟩$ は
$$⟨{\hat{p}}^2⟩={\hslash }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\frac{d\psi }{dx}\right|}^{2}dx$$
で計算してよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$$
を考える。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。消滅演算子を
$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right)$$
で定め、${\hat{a}}^{†}$ をその生成演算子とする。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩(n=0,1,2,\dots )$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とし、$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ が成り立つ。

時刻 $t=0$ で系は状態
$$|\psi (0)⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|0⟩+\frac{1}{2}|2⟩$$
にあり、その後はハミルトニアン $\hat{H}$ のもとで時間発展する。時刻 $t(t\geqq 0)$ における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ が、$t\geqq 0$ の範囲でとる最小値を $\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\frac{A{e}^{i{k}_{0}x}}{x^2+a^2}(-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$k_0$ は実数の定数、$A$ は規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとし、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の不確かさ $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の不確かさ $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。必要なら、次の積分公式を用いてよい。
$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\sin }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{2},{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{2},{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\sin }^2\theta {\cos }^4\theta d\theta =\frac{\pi }{16}$$

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=Ax{e}^{-\kappa |x|}(-\infty <x<\infty )$$
ここで $\kappa$ は正の定数、$A$ は規格化定数（正の実数）である。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$ を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、消滅演算子 $\hat{a}$・生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{p}=i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}\left({\hat{a}}^{†}-\hat{a}\right)$$
と表す。ここで $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ である。時刻 $t=0$ で振動子の状態が
$$|\psi (0)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|1⟩\right)$$
であり、その後シュレーディンガー方程式に従って時間発展する。時刻 $t$ での位置と運動量の標準偏差を $\Delta x(t)$, $\Delta p(t)$ とするとき、$t\geqq 0$ における積 $\Delta x(t)\Delta p(t)$ の最大値と最小値を、この順に $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$ を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$ を満たし、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表される。実数 $\alpha \geqq 0$ に対して、$\hat{a}|\alpha ⟩=\alpha |\alpha ⟩$、$⟨\alpha |\alpha ⟩=1$ を満たすコヒーレント状態 $|\alpha ⟩$ をとり、これに生成演算子を 1 回作用させて規格化した状態
$$|\psi ⟩=\frac{{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩}{\Vert {\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩\Vert }$$
を考える。状態 $|\psi ⟩$ における位置のゆらぎ $(\Delta x{)}^2=⟨\psi |{\hat{x}}^2|\psi ⟩-⟨\psi |\hat{x}|\psi {⟩}^2$ を $\alpha$ の関数とみなすとき、$\alpha \geqq 0$ の範囲での $(\Delta x{)}^2$ の最小値を $\hslash ,m,\omega$ を用いて求めよ。