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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（ $0 < x < L$ で $V = 0$ 、それ以外で $V = \infty$ ）の中で基底状態
$ψ_{1} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{π x}{L} (0 < x < L), ψ_{1} (x) = 0 (それ以外)$
にある。運動量演算子を $p^= - i ℏ \frac{d}{d x}$ （ $ℏ$ はプランク定数を $2 π$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $Δ x = ⟨ x^{2} ⟩ - ⟨ x ⟩^{2}$ , $Δ p = ⟨ p^{2} ⟩ - ⟨ p ⟩^{2}$ で定める。この状態における積 $Δ x Δ p$ を $ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

無限に深い井戸型ポテンシャル（説明と入口の問題）
演算子と期待値（説明と入口の問題）
標準偏差と不確定性関係（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$⟨ x ⟩$ は対称性から、 $⟨ p ⟩$ は波動関数が実数であることから求まる。 $⟨ x^{2} ⟩$ と $⟨ p^{2} ⟩$ を計算すればよい。

ヒント 2

$⟨ x^{2} ⟩$ は $sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ と部分積分で、 $⟨ p^{2} ⟩$ は $ψ_{1}^{''} = - \frac{π ^{2}}{L ^{2}} ψ_{1}$ を使って計算する。

ヒント 3

$⟨ x^{2} ⟩ = L^{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2 π ^{2}})$ 、 $⟨ p^{2} ⟩ = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{L ^{2}}$ となる。

答えと解説

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\frac{3 ( π ^{2} - 6 )}{6} ℏ

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解説を読む

位置の期待値: $∣ ψ_{1} ∣^{2}$ は $x = \frac{L}{2}$ に関して対称なので $⟨ x ⟩ = \frac{L}{2}$ 。

$sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ を用いて
$⟨ x^{2} ⟩ = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} x^{2} sin^{2} \frac{π x}{L} d x = \frac{1}{L} (\int_{0}^{L} x^{2} d x - \int_{0}^{L} x^{2} cos \frac{2 π x}{L} d x)$
$k = \frac{2 π}{L}$ として部分積分を 2 回行うと（ $sin k L = 0$ , $cos k L = 1$ ）
$\int_{0}^{L} x^{2} cos k x d x = [\frac{x ^{2} sin k x}{k}]_{0}^{L} - \frac{2}{k} \int_{0}^{L} x sin k x d x = - \frac{2}{k} ([- \frac{x cos k x}{k}]_{0}^{L} + \frac{1}{k} \int_{0}^{L} cos k x d x) = - \frac{2}{k} (- \frac{L}{k}) = \frac{2 L}{k ^{2}} = \frac{L ^{3}}{2 π ^{2}}$
よって
$⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{L} (\frac{L ^{3}}{3} - \frac{L ^{3}}{2 π ^{2}}) = L^{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2 π ^{2}})$
$(Δ x)^{2} = L^{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2 π ^{2}}) - \frac{L ^{2}}{4} = L^{2} (\frac{1}{12} - \frac{1}{2 π ^{2}}) = \frac{L ^{2} ( π ^{2} - 6 )}{12 π ^{2}}$

運動量の期待値: $ψ_{1}$ は実数関数で両端で $0$ なので $⟨ p ⟩ = - i ℏ \int_{0}^{L} ψ_{1} ψ_{1}^{'} d x = - \frac{i ℏ}{2} [ψ_{1}^{2}]_{0}^{L} = 0$ 。

$ψ_{1}^{''} = - \frac{π ^{2}}{L ^{2}} ψ_{1}$ より
$⟨ p^{2} ⟩ = - ℏ^{2} \int_{0}^{L} ψ_{1} ψ_{1}^{''} d x = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{L ^{2}} \int_{0}^{L} ψ_{1}^{2} d x = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{L ^{2}}$
よって $Δ p = \frac{π ℏ}{L}$ 。

積:
$Δ x Δ p = \frac{L π ^{2} - 6}{2 3 π} \cdot \frac{π ℏ}{L} = \frac{π ^{2} - 6}{2 3} ℏ = \frac{3 ( π ^{2} - 6 )}{6} ℏ$
数値は約 $0.568ℏ$ で、不確定性関係 $Δ x Δ p ≧ \frac{ℏ}{2}$ を満たしている。

別解

$∣ ψ_{1} ∣^{2}$ は $x = L /2$ について対称なので $⟨ x ⟩ = \frac{L}{2}$ 。 $⟨ x^{2} ⟩ = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} x^{2} sin^{2} \frac{π x}{L} d x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x^{2} (1 - cos \frac{2 π x}{L}) d x = \frac{L ^{2}}{3} - \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x^{2} cos \frac{2 π x}{L} d x$ 。部分積分で $\int_{0}^{L} x^{2} cos \frac{2 π x}{L} d x = \frac{L ^{3}}{2 π ^{2}}$ なので $⟨ x^{2} ⟩ = \frac{L ^{2}}{3} - \frac{L ^{2}}{2 π ^{2}}$ 。よって $(Δ x)^{2} = \frac{L ^{2}}{3} - \frac{L ^{2}}{2 π ^{2}} - \frac{L ^{2}}{4} = L^{2} (\frac{1}{12} - \frac{1}{2 π ^{2}})$ 。運動量: $ψ_{1}$ は実数で端点で 0 になるので $⟨ p ⟩ = 0$ 。 $⟨ p^{2} ⟩ = 2 m E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{L ^{2}}$ （直接計算でも $ℏ^{2} \int ∣ ψ_{1}^{'} ∣^{2} d x = ℏ^{2} \frac{π ^{2}}{L ^{2}}$ ）。よって $Δ p = \frac{π ℏ}{L}$ 。積は $Δ x Δ p = π ℏ \frac{1}{12} - \frac{1}{2 π ^{2}} = ℏ \frac{π ^{2}}{12} - \frac{1}{2} = ℏ \frac{π ^{2} - 6}{12}$ 。検算: 数値は $(9.8696 - 6) /12 = 0.32247 \approx 0.568 > 0.5$ であり、不確定性関係 $ℏ/2$ を満たす。

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