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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（ $0 < x < L$ で $V = 0$ 、それ以外で $V = \infty$ ）の中にある。エネルギー固有状態を
$φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L} (0 < x < L, n = 1, 2, 3, \dots)$
とし、その固有エネルギーを $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ とする（ $ℏ$ はプランク定数を $2 π$ で割ったもの）。時刻 $t = 0$ で粒子の波動関数が
$Ψ (x, 0) = \frac{1}{2} {φ_{1} (x) + φ_{2} (x)}$
であった。その後、粒子は時間に依存しないこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。粒子を井戸の左半分 $0 < x < \frac{L}{2}$ に見いだす確率が最小になる最初の時刻 $t (t > 0)$ を、 $m, L, ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

定常状態の重ね合わせと時間発展（説明と入口の問題）
無限に深い井戸型ポテンシャル（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（106 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

各固有状態は $e^{- i E_{n} t /ℏ}$ の位相因子をかけて時間発展する。 $∣Ψ (x, t) ∣^{2}$ を展開し、時間に依存する干渉項を取り出す。

ヒント 2

左半分の確率は $P (t) = \frac{1}{2} + (\int_{0}^{L /2} φ_{1} φ_{2} d x) cos \frac{( E _{2} - E _{1} ) t}{ℏ}$ の形になる。

ヒント 3

積和の公式で $\int_{0}^{L /2} φ_{1} φ_{2} d x = \frac{4}{3 π}$ と求まる。これが正なので、 $cos$ が $- 1$ になる最初の時刻を考える。

答えと解説

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\frac{2 m L ^{2}}{3 π ℏ}

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解説を読む

ポテンシャルが時間によらないので、各エネルギー固有状態は位相因子 $e^{- i E_{n} t /ℏ}$ をかけて時間発展する（シュレーディンガー方程式は線形なので重ね合わせのまま発展する）。よって
$Ψ (x, t) = \frac{1}{2} {φ_{1} (x) e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} (x) e^{- i E_{2} t /ℏ}}$
$φ_{1}, φ_{2}$ は実数関数なので、 $ω = \frac{E _{2} - E _{1}}{ℏ}$ とおくと
$∣Ψ (x, t) ∣^{2} = \frac{1}{2} {φ_{1}^{2} + φ_{2}^{2}} + φ_{1} φ_{2} cos ω t$

左半分に見いだす確率 $P (t) = \int_{0}^{L /2} ∣Ψ ∣^{2} d x$ を求める。

対称性から $\int_{0}^{L /2} φ_{n}^{2} d x = \frac{1}{2}$ （ $n = 1, 2$ ）なので、第 1 項の寄与は $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ 。

干渉項は、積和の公式 $sin A sin B = \frac{1}{2} {cos (A - B) - cos (A + B)}$ を用いて
$\int_{0}^{L /2} φ_{1} φ_{2} d x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L /2} (cos \frac{π x}{L} - cos \frac{3 π x}{L}) d x = \frac{1}{L} [\frac{L}{π} sin \frac{π x}{L} - \frac{L}{3 π} sin \frac{3 π x}{L}]_{0}^{L /2}$
$= \frac{1}{π} \cdot 1 - \frac{1}{3 π} \cdot (- 1) = \frac{4}{3 π}$

したがって
$P (t) = \frac{1}{2} + \frac{4}{3 π} cos ω t$
$\frac{4}{3 π} > 0$ なので、 $P (t)$ が最小になるのは $cos ω t = - 1$ のとき、すなわち $ω t = π, 3 π, \dots$ のときで、最初の時刻は $t = \frac{π}{ω}$ 。

ここで
$E_{2} - E_{1} = \frac{( 4 - 1 ) π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{3 π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}, ω = \frac{3 π ^{2} ℏ}{2 m L ^{2}}$
より
$t = \frac{π}{ω} = \frac{π \cdot 2 m L ^{2}}{3 π ^{2} ℏ} = \frac{2 m L ^{2}}{3 π ℏ}$

別解

時間発展した波動関数は $Ψ (x, t) = \frac{1}{2} {φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ}}$ 。 $φ_{n}$ は実数なので $∣Ψ ∣^{2} = \frac{1}{2} {φ_{1}^{2} + φ_{2}^{2} + 2 φ_{1} φ_{2} cos ω t}$ 、ただし $ω = \frac{E _{2} - E _{1}}{ℏ} = \frac{3 π ^{2} ℏ}{2 m L ^{2}}$ 。左半分での積分: $\int_{0}^{L /2} φ_{1}^{2} d x = \frac{1}{2}$ （ $φ_{1}^{2}$ は $x = L /2$ について対称）、 $\int_{0}^{L /2} φ_{2}^{2} d x = \frac{2}{L} \int_{0}^{L /2} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x = \frac{1}{2}$ 。交差項 $I = \int_{0}^{L /2} φ_{1} φ_{2} d x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L /2} {cos \frac{π x}{L} - cos \frac{3 π x}{L}} d x = \frac{1}{π} {sin \frac{π}{2} - \frac{1}{3} sin \frac{3 π}{2}} = \frac{4}{3 π}$ 。よって左半分に見いだす確率は $P (t) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 I cos ω t) = \frac{1}{2} + \frac{4}{3 π} cos ω t$ 。 $P$ が最小になるのは $cos ω t = - 1$ のとき（最小値 $\frac{1}{2} - \frac{4}{3 π}$ ）で、最初の $t > 0$ は $ω t = π$ 。 $t = \frac{π}{ω} = \frac{2 m L ^{2}}{3 π ℏ}$ 。検算: $t = 0$ では $P = \frac{1}{2} + \frac{4}{3 π} \approx 0.92$ （ $φ_{1} + φ_{2}$ は左に偏る）で、 $ω t = π$ で符号が反転して右に偏るため整合的。

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