定常状態の重ね合わせと時間発展

質量 $m$ の粒子が、$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中にある。この井戸の規格化されたエネルギー固有関数とエネルギー固有値は
$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L},E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
である。

時刻 $t=0$ に粒子の波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{3}{5}{\phi }_1(x)+\frac{4}{5}{\phi }_2(x)$$
であった。時刻 $t=\frac{2m{L}^2}{3\pi \hslash }$ に粒子の位置を測定したとき、粒子が井戸の左半分 $0\le x\le \frac{L}{2}$ に見いだされる確率を、$\pi$ を含む正確な値で求めよ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある。エネルギー固有関数を ${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（$0<x<L$、$n=1,2,3,\dots$）、固有エネルギーを $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ とする（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。時刻 $t=0$ で波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{2{\phi }_1(x)+{\phi }_3(x)\right\}$$
であり、その後シュレーディンガー方程式に従って時間発展する。確率密度 $|\Psi (x,t){|}^2$ がすべての $x$ について初めて $t=0$ のときと同じ関数に戻る時刻 $t(t>0)$ を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子（ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$）を考える。規格化された実数のエネルギー固有関数を ${\phi }_n(x)$、対応するエネルギー固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とする（$\hslash$ は換算プランク定数）。時刻 $t=0$ において粒子の状態が
$$\psi (x,0)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_0(x)+\frac{1}{2}{\phi }_1(x)$$
であった。ただし
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{0}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{1}x{\phi }_{1}dx=0,{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{1}dx=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}$$
である。位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ が初めて $-\frac{1}{2}⟨x⟩(0)$ に等しくなる時刻 $t>0$ を、$\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、周の長さ $L$ の円周上を自由に運動している（ポテンシャルは $0$）。円周にそった座標を $x(0\leqq x<L)$ とし、波動関数は周期境界条件 $\psi (x+L,t)=\psi (x,t)$ を満たすとする。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、ハミルトニアンは $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ とする。

時刻 $t=0$ に、粒子は次の規格化された状態にあった。
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2L}}\left(1+e^{2\pi ix/L}\right)$$
この粒子を点 $x=0$ の近くに見いだす確率密度 $|\psi (0,t){|}^2$ は、時刻 $t=0$ で最大になっている。$t>0$ で $|\psi (0,t){|}^2$ がはじめて $0$ になる時刻を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

水素原子の電子の状態を考える。原子核は静止しているとみなし、スピンは考えない。ボーア半径を $a$ とし、極座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いると、規格化されたエネルギー固有関数のうち 2 つは
$${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a},{\psi }_{211}=\frac{1}{8\sqrt{\pi a^3}}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}\sin \theta e^{i\varphi }$$
である。

電子が時刻 $t=0$ に状態
$$\Psi =\frac{1}{\sqrt{3}}{\psi }_{100}+\sqrt{\frac{2}{3}}{\psi }_{211}$$
にあるとき、時刻 $t(t\ge 0)$ における原子核と電子の距離 $r$ の期待値 $⟨r⟩$ を $a$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある。エネルギー固有状態を
$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(0<x<L,n=1,2,3,\dots )$$
とし、その固有エネルギーを $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ とする（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。時刻 $t=0$ で粒子の波動関数が
$$\Psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{{\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)\right\}$$
であった。その後、粒子は時間に依存しないこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。粒子を井戸の左半分 $0<x<\frac{L}{2}$ に見いだす確率が最小になる最初の時刻 $t(t>0)$ を、$m,L,\hslash$ を用いて表せ。

スピン $\frac{1}{2}$ の区別できる粒子 1, 2, 3 が三角形の頂点に固定されている。粒子 $i$（$i=1,2,3$）のパウリ行列を ${\mathbf{\sigma }}_i=({\sigma }_{ix},{\sigma }_{iy},{\sigma }_{iz})$、スピン演算子を ${\mathbf{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\mathbf{\sigma }}_i$ とする。系のハミルトニアンは
$$H=J\left({\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+{\mathbf{\sigma }}_2\cdot {\mathbf{\sigma }}_3+{\mathbf{\sigma }}_3\cdot {\mathbf{\sigma }}_1\right)(J>0)$$
で与えられ（$J$ はエネルギーの次元をもつ定数）、スピン以外の自由度は考えない。$S_{iz}$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する固有状態を $|\uparrow {⟩}_i$, $|\downarrow {⟩}_i$ と書く。

時刻 $t=0$ で系が状態 $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2|\downarrow {⟩}_3$ にあった。その後、系の状態 $|\psi (t)⟩$ はシュレーディンガー方程式
$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$$
に従って時間発展する（$\hslash$ は換算プランク定数で、$\hslash =1$ とはしない）。時刻 $t(\geqq 0)$ における粒子 3 のスピンの $z$ 成分の期待値 $⟨S_{3z}⟩(t)$ を、$\hslash$, $J$, $t$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$$
を考える。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。消滅演算子を
$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right)$$
で定め、${\hat{a}}^{†}$ をその生成演算子とする。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩(n=0,1,2,\dots )$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とし、$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ が成り立つ。

時刻 $t=0$ で系は状態
$$|\psi (0)⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|0⟩+\frac{1}{2}|2⟩$$
にあり、その後はハミルトニアン $\hat{H}$ のもとで時間発展する。時刻 $t(t\geqq 0)$ における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ が、$t\geqq 0$ の範囲でとる最小値を $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、次の 1 次元の「半分の調和振動子」ポテンシャルの中を運動している。
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2& (x>0)\\ \infty & (x\leqq 0)\end{array}(\omega >0)$$
$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。時刻 $t=0$ で、粒子の波動関数は
$$\psi (x,0)=\{\begin{array}{ll}A{x}^3\exp \left(-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }\right)& (x>0)\\ 0& (x\leqq 0)\end{array}$$
であった。ここで $A$ は規格化定数（正の実数）である。その後、粒子はこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。

位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ の、$t\geqq 0$ における最小値を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$ を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、消滅演算子 $\hat{a}$・生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{p}=i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}\left({\hat{a}}^{†}-\hat{a}\right)$$
と表す。ここで $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ である。時刻 $t=0$ で振動子の状態が
$$|\psi (0)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|1⟩\right)$$
であり、その後シュレーディンガー方程式に従って時間発展する。時刻 $t$ での位置と運動量の標準偏差を $\Delta x(t)$, $\Delta p(t)$ とするとき、$t\geqq 0$ における積 $\Delta x(t)\Delta p(t)$ の最大値と最小値を、この順に $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、はじめ幅 $\frac{2L}{3}$ の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<\frac{2L}{3}$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の基底状態
$${\psi }_0(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{3}{L}}\sin \frac{3\pi x}{2L}& \left(0<x<\frac{2L}{3}\right)\\ 0& \left(\frac{2L}{3}\leqq x<L\right)\end{array}$$
にある。時刻 $t=0$ に右側の壁を瞬間的に $x=L$ まで移動させた。$t>0$ では粒子は幅 $L$ の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中を運動し、$t=0$ の直後の波動関数は ${\psi }_0(x)$ のままであるとする（突然近似）。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

$t>0$ の波動関数を $\psi (x,t)$ とするとき、時刻
$$t_1=\frac{m{L}^2}{\pi \hslash }$$
において粒子が初期状態 ${\psi }_0$ に見いだされる確率
$$P={\left|{\int }_0^L{\psi }_0(x{)}^{\ast }\psi (x,t_1)dx\right|}^2$$
を求めよ。答えは $\pi$ を用いた正確な式で表せ。