真空中のニュートリノ振動の確率

$P (ν_{α} \to ν_{β}) = \sum_{i} U_{α i}^{*} U_{β i} e^{- i m_{i}^{2} L /2 E}^{2}$ を 3 世代の混合行列の成分と $Δ m_{ij}^{2} L /4 E$ で展開し、生存確率 $P (ν_{e} \to ν_{e}) = 1 - 4 \sum_{i < j} ∣ U_{e i} ∣^{2} ∣ U_{e j} ∣^{2} sin^{2} \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{4 E}$ などの値を求められる

前提

CKM・PMNS 行列のパラメータの数（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

説明

弱い相互作用でつくられるニュートリノはフレーバー（ $ν_{e}, ν_{μ}, ν_{τ}$ ）の決まった状態ですが、これは質量の決まった状態 $ν_{1}, ν_{2}, ν_{3}$ の重ね合わせです。質量が違うと位相の進み方が違うので、距離 $L$ だけ飛ぶあいだに重ね合わせの割合が変わり、別のフレーバーとして検出される確率が生じます（ニュートリノ振動）。この技能では、振動確率の一般式を混合行列 $U$ の成分と $Δ m_{ij}^{2} L /4 E$ で展開し、原子炉・加速器・太陽ニュートリノの実験で見る生存確率や出現確率の値を求めます。

なぜそうしてよいのか

単位は $ℏ = c = 1$ とします。フレーバー状態を $∣ ν_{α} ⟩ = \sum_{i} U_{α i}^{*} ∣ ν_{i} ⟩$ （ $U$ は $3 \times 3$ のユニタリー行列）と書きます。質量の決まった状態はエネルギーの決まった定常状態なので、前提の技能と同じく、各成分は $e^{- i E_{i} t}$ の位相をもって時間発展します。ニュートリノは超相対論的で、同じ運動量 $p$ をもつとすれば $E_{i} = p^{2} + m_{i}^{2} \approx p + \frac{m _{i}^{2}}{2 p}$ 、飛んだ時間は $t \approx L$ 、 $p \approx E$ です。共通の位相 $e^{- i p L}$ は確率に効かないので、距離 $L$ 後の振幅は
$A (ν_{α} \to ν_{β}) = ⟨ ν_{β} ∣ ν_{α} (L)⟩ = i \sum U_{α i}^{*} U_{β i} e^{- i m_{i}^{2} L /2 E}$
となります。

これの絶対値の 2 乗を展開します。 $X_{ij} = U_{α i}^{*} U_{β i} U_{α j} U_{β j}^{*}$ とおくと $P = \sum_{i, j} X_{ij} e^{- i ϕ_{ij}}$ （ $ϕ_{ij} = Δ m_{ij}^{2} L /2 E$ 、 $Δ m_{ij}^{2} = m_{i}^{2} - m_{j}^{2}$ ）。 $L = 0$ では $U$ のユニタリー性 $\sum_{i} U_{α i}^{*} U_{β i} = δ_{α β}$ から $\sum_{i, j} X_{ij} = δ_{α β}$ です。 $i < j$ の組と $j < i$ の組は互いに複素共役なので、 $X_{ij} e^{- i ϕ} + c.c. = 2 Re X_{ij} cos ϕ + 2 Im X_{ij} sin ϕ$ とまとまり、 $cos ϕ = 1 - 2 sin^{2} \frac{ϕ}{2}$ を使って $L = 0$ の値を引くと
$P (ν_{α} \to ν_{β}) = δ_{α β} - 4 i < j \sum Re X_{ij} sin^{2} \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{4 E} + 2 i < j \sum Im X_{ij} sin \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{2 E}$
を得ます。

生存確率 $α = β$ では $X_{ij} = ∣ U_{α i} ∣^{2} ∣ U_{α j} ∣^{2}$ が実数になり、虚部の項が消えて
$P (ν_{e} \to ν_{e}) = 1 - 4 i < j \sum ∣ U_{e i} ∣^{2} ∣ U_{e j} ∣^{2} sin^{2} \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{4 E}$
となります。必要なのは $∣ U_{e i} ∣^{2}$ の 3 つの値と、3 つの位相 $Δ m_{ij}^{2} L /4 E$ だけです。3 つの $Δ m^{2}$ は独立ではなく $Δ m_{32}^{2} = Δ m_{31}^{2} - Δ m_{21}^{2}$ を満たします。実用単位では $\frac{Δ m ^{2} L}{4 E} = 1.27 \frac{Δ m ^{2} [ e V ^{2} ] L [ km ]}{E [ GeV ]}$ です（ $ℏ, c$ を戻した値）。

手順

求める確率が生存確率（ $α = β$ ）か出現確率（ $α \neq = β$ ）かを確認する
必要な混合行列の成分を集める。生存確率なら $∣ U_{α 1} ∣^{2}, ∣ U_{α 2} ∣^{2}, ∣ U_{α 3} ∣^{2}$ （和は $1$ ）、出現確率なら $X_{ij} = U_{α i}^{*} U_{β i} U_{α j} U_{β j}^{*}$
3 つの位相 $Δ_{ij} = \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{4 E}$ （ $i < j$ の 3 組）を求める。与えられていない組は $Δ m_{32}^{2} = Δ m_{31}^{2} - Δ m_{21}^{2}$ から作る
公式に代入する: 生存確率は $P = 1 - 4 \sum_{i < j} ∣ U_{α i} ∣^{2} ∣ U_{α j} ∣^{2} sin^{2} Δ_{ij}$ 、出現確率は $P = - 4 \sum_{i < j} Re X_{ij} sin^{2} Δ_{ij} + 2 \sum_{i < j} Im X_{ij} sin 2 Δ_{ij}$
結果が $0 \leq P \leq 1$ に入っているかを確かめる

例題

$ℏ = c = 1$ とし、真空中を距離 $L$ 飛ぶエネルギー $E$ の超相対論的な電子ニュートリノを考える。混合行列の成分の絶対値の 2 乗が $∣ U_{e 1} ∣^{2} = \frac{1}{2}$ 、 $∣ U_{e 2} ∣^{2} = \frac{1}{4}$ 、 $∣ U_{e 3} ∣^{2} = \frac{1}{4}$ であり、 $Δ m_{ij}^{2} = m_{i}^{2} - m_{j}^{2}$ について $\frac{Δ m _{21}^{2} L}{4 E} = \frac{π}{2}$ 、 $\frac{Δ m _{31}^{2} L}{4 E} = \frac{π}{4}$ であるとする。生存確率 $P (ν_{e} \to ν_{e})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $α = β = e$ なので生存確率。

手順 2: $∣ U_{e 1} ∣^{2} = \frac{1}{2}, ∣ U_{e 2} ∣^{2} = \frac{1}{4}, ∣ U_{e 3} ∣^{2} = \frac{1}{4}$ （和が $1$ になっている）。

手順 3: 位相は $Δ_{12} = - \frac{π}{2}$ 、 $Δ_{13} = - \frac{π}{4}$ 、 $Δ_{23} = Δ_{13} - Δ_{12} = - \frac{π}{4} + \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$ （ $Δ m_{23}^{2} = Δ m_{21}^{2} - Δ m_{31}^{2}$ より）。 $sin^{2}$ をとると $sin^{2} Δ_{12} = 1$ 、 $sin^{2} Δ_{13} = \frac{1}{2}$ 、 $sin^{2} Δ_{23} = \frac{1}{2}$ 。

手順 4:
$P = 1 - 4 [\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}] = 1 - 4 [\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}] = 1 - 4 \cdot \frac{7}{32} = \frac{1}{8} .$

手順 5: $0 \leq \frac{1}{8} \leq 1$ で妥当。

答え: $\frac{1}{8}$

よくある誤り

$sin^{2}$ の中を $\frac{Δ m ^{2} L}{2 E}$ にしてしまう誤り。振幅の位相差は $\frac{Δ m ^{2} L}{2 E}$ だが、 $1 - cos ϕ = 2 sin^{2} \frac{ϕ}{2}$ で半分になるので、正しくは $sin^{2} \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{4 E}$ 。虚部の項だけは $sin \frac{Δ m _{ij}^{2} L}{2 E}$ のまま
3 世代の和で $(2, 3)$ の組を落とし、 $1 - 4∣ U_{e 1} ∣^{2} ∣ U_{e 2} ∣^{2} sin^{2} Δ_{21} - 4∣ U_{e 1} ∣^{2} ∣ U_{e 3} ∣^{2} sin^{2} Δ_{31}$ だけで計算してしまう誤り。 $i < j$ の 3 組すべてが入り、 $Δ m_{32}^{2} = Δ m_{31}^{2} - Δ m_{21}^{2}$ の位相の項 $- 4∣ U_{e 2} ∣^{2} ∣ U_{e 3} ∣^{2} sin^{2} Δ_{32}$ も必要
出現確率にも生存確率と同じ形 $4∣ U_{α i} ∣^{2} ∣ U_{β j} ∣^{2} sin^{2} Δ_{ij}$ を使ってしまう誤り。 $α \neq = β$ では $X_{ij} = U_{α i}^{*} U_{β i} U_{α j} U_{β j}^{*}$ が一般に複素数で、 $P = - 4 \sum Re X_{ij} sin^{2} Δ_{ij} + 2 \sum Im X_{ij} sin 2 Δ_{ij}$ と虚部（CP の破れ）の項が付く
$ℏ, c$ を戻すときに位相の数値係数を取り違える誤り。 $\frac{Δ m ^{2} c ^{4} L}{4ℏ c E} = 1.27 \frac{Δ m ^{2} [ e V ^{2} ] L [ km ]}{E [ GeV ]}$ （または $\frac{L [ m ]}{E [ MeV ]}$ ）であり、 $2.54$ は $\frac{Δ m ^{2} L}{2 E}$ に対する係数

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。3 世代のニュートリノが真空中を伝わるとし、フレーバー固有状態 $ν_{α}$ （ $α = e, μ, τ$ ）と質量固有状態 $ν_{i}$ （質量 $m_{i}$ , $i = 1, 2, 3$ ）が混合行列 $U$ により $∣ ν_{α} ⟩ = \sum_{i} U_{α i}^{*} ∣ ν_{i} ⟩$ で結ばれているとする。エネルギー $E$ のニュートリノは $E ≫ m_{i}$ を満たし、距離 $L$ 伝わったときの振動確率は
$P (ν_{α} \to ν_{β}) = i = 1 \sum 3 U_{α i}^{*} U_{β i} e^{- i m_{i}^{2} L /2 E}^{2}$
で与えられるものとする。
混合行列の電子フレーバーの行の成分の絶対値の 2 乗が
$∣ U_{e 1} ∣^{2} = \frac{1}{2}, ∣ U_{e 2} ∣^{2} = \frac{1}{4}, ∣ U_{e 3} ∣^{2} = \frac{1}{4}$
であり、 $Δ m_{ij}^{2} = m_{i}^{2} - m_{j}^{2}$ として、ある距離 $L$ とエネルギー $E$ で
$\frac{Δ m _{21}^{2} L}{4 E} = \frac{π}{6}, \frac{Δ m _{31}^{2} L}{4 E} = \frac{π}{2}$
が成り立つとする。このときの電子ニュートリノの生存確率 $P (ν_{e} \to ν_{e})$ を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。3 世代のニュートリノを考え、フレーバー固有状態と質量固有状態の関係を
$∣ ν_{α} ⟩ = i = 1 \sum 3 U_{α i}^{*} ∣ ν_{i} ⟩ (α = e, μ, τ)$
とする。混合行列 $U$ の第 1 行は標準的なパラメータ表示で
$U_{e 1} = c_{12} c_{13}, U_{e 2} = s_{12} c_{13}, U_{e 3} = s_{13} e^{- i δ}$
（ $s_{ij} = sin θ_{ij}, c_{ij} = cos θ_{ij}$ ）と書ける。いま仮想的なパラメータとして
$sin^{2} θ_{13} = \frac{1}{6}, sin^{2} θ_{12} = \frac{2}{5}$
をとる。質量の 2 乗差を $Δ m_{ij}^{2} = m_{i}^{2} - m_{j}^{2}$ と書き、ある正の定数 $Δ$ を用いて $Δ m_{21}^{2} = Δ, Δ m_{31}^{2} = 3Δ$ であるとする。
エネルギー $E$ の電子ニュートリノ $ν_{e}$ が真空中を距離 $L = \frac{2 π E}{3Δ}$ だけ伝播したのち、再び $ν_{e}$ として検出される確率 $P (ν_{e} \to ν_{e})$ を求めよ。ただし、ニュートリノは超相対論的 ( $m_{i} ≪ E$ ) で、平面波近似（各質量固有状態は共通の運動量 $p ≃ E$ をもち、 $t ≃ L$ ）を用いてよい。物質効果は無視する。答えは既約分数で答えよ。