古典群の次元

複素特殊線形群
$$SL(4,\mathbb{C})=\{g\in GL(4,\mathbb{C})\mid \det g=1\}$$
を実リー群とみなす。$SL(4,\mathbb{C})$ の実リー群としての次元（実次元）を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$2n$ 次の複素正方行列
$$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right)$$
を考える（$I_n$ は $n$ 次単位行列、$O$ は $n$ 次零行列）。$g^{\ast }={\overline{g}}^{\mathsf{T}}$ を随伴行列として、
$$G=\{g\in GL(2n,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J,g^{\ast }g=I_{2n}\}$$
とおく。$G$ は $GL(2n,\mathbb{C})$ の閉部分群であり、実リー群である。$G$ の実リー群としての次元を $n$ の式で求めよ。

$7$ 次のユニタリ群 $U(7)=\{g\in GL(7,\mathbb{C})\mid g^{\ast }g=I_7\}$（$g^{\ast }$ は $g$ の共役転置、$I_7$ は $7$ 次単位行列）は、$7$ 次エルミート行列全体のなす実ベクトル空間 ${\mathcal{H}}_7=\{A\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{C})\mid A^{\ast }=A\}$ に $g\cdot A=gA{g}^{\ast }$ により作用する。
$$A_0=\mathrm{diag}(1,1,2,2,2,5,5)$$
とするとき、$A_0$ の軌道 $\mathcal{O}=\{g{A}_0{g}^{\ast }\mid g\in U(7)\}$ の実多様体としての次元を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$X\in M_n(\mathbb{C})$ に対し $X^{\ast }={\overline{X}}^T$（随伴行列）とし、ユニタリ群を
$$U(n)=\{g\in G{L}_n(\mathbb{C})\mid g^{\ast }g=I\}$$
とする。$U(n)$ は $G{L}_n(\mathbb{C})$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$$\mathfrak{u}(n)=\{X\in M_n(\mathbb{C})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in U(n)\}$$
で定める。このとき $\mathfrak{u}(n)$ は $M_n(\mathbb{C})$ の実線形部分空間であり、実ベクトル空間としての次元が ${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{u}(n)=n^2$ であることを証明せよ。

ただし、実数 $t$ に対して $\exp (tX{)}^{\ast }=\exp (t{X}^{\ast })$、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)=\exp (tX)X$、$\exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。

$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_2\\ -I_2& O\end{array}\right)$（$I_2$ は $2$ 次単位行列、$O$ は $2$ 次零行列）とし、実リー環
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{R})\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=O\}$$
（括弧積は $[X,Y]=XY-YX$）を考える。$\mathfrak{g}$ のキリング形式 $B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)$ は $\mathfrak{g}$ 上の実対称双線形形式である。$B$ を対角化したときの正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$（重複を含めて数える）を、組 $(p,q)$ の形で求めよ。

$e_1,\dots ,e_9$ を ${\mathbb{C}}^9$ の標準基底とし、部分空間
$$V_1={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2\},V_2={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\}$$
を考える（$V_1\subset V_2\subset {\mathbb{C}}^9$）。特殊線形群 $SL(9,\mathbb{C})=\{g\in GL(9,\mathbb{C})\mid \det g=1\}$ の部分群
$$P=\{g\in SL(9,\mathbb{C})\mid g{V}_1=V_1,g{V}_2=V_2\}$$
は $GL(9,\mathbb{C})$ の閉部分群であり、実リー群とみなせる。$P$ の実リー群としての次元（すなわちリー環 $\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }\exp (tX)\in P\}$ の実ベクトル空間としての次元）を求めよ。

$p,q,k$ を $p+q+k\ge 1$ をみたす $0$ 以上の整数とし、$n=p+q+k$ とおく。$n$ 次の実対称行列 $$S=\left(\begin{array}{ccc}{I}_p& O& O\\ O& -I_q& O\\ O& O& O_k\end{array}\right)$$ を考える（$I_m$ は $m$ 次単位行列、$O_k$ は $k$ 次零行列、$O$ は適切なサイズの零行列。サイズ $0$ のブロックは省く）。$$G=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Sg=S\}$$ は $GL(n,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがって実リー群である。$G$ のリー群としての次元を $p,q,k$ の式で求めよ。

$8$ 次の実正方行列 $$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_4\\ -I_4& O\end{array}\right)$$ （$I_4$ は $4$ 次単位行列、$O$ は $4$ 次零行列）を用いて、実シンプレクティック群を $$Sp(8,\mathbb{R})=\{g\in GL(8,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J\}$$ と定める。${\mathbb{R}}^8$ の標準基底を $e_1,\dots ,e_8$ とし、部分空間 $V_1=\mathbb{R}{e}_1$、$V_2=\mathbb{R}{e}_1+\mathbb{R}{e}_2$ をとる。$$P=\{g\in Sp(8,\mathbb{R})\mid g{V}_1=V_1,g{V}_2=V_2\}$$ は $Sp(8,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがってリー群である。$P$ の（実リー群としての）次元を求めよ。

$D=\mathrm{diag}\left(2,\frac{1}{2},2,-1,1\right)$ を $5$ 次の実対角行列とする。$11$ 次の実正方行列 $A$ を
$$A=\left(\begin{array}{ccc}O& I_5& 0\\ D& O& 0\\ 0^{\mathsf{T}}& 0^{\mathsf{T}}& 1\end{array}\right)$$
で定める。ここで $I_5$ は $5$ 次単位行列、$O$ は $5$ 次零行列、$0$ は $5$ 次元の零列ベクトルである。$A$ は対称でも交代でもない正則行列である。
$$G=\{g\in GL(11,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Ag=A\}$$
は $GL(11,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、実リー群になる。そのリー環
$$\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(11,\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in G\}$$
の実ベクトル空間としての次元 ${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}$ を求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_4\\ -I_4& O\end{array}\right)$（$I_4$ は $4$ 次単位行列、$O$ は $4$ 次零行列）とし、複素シンプレクティック群とそのリー環を
$$Sp(8,\mathbb{C})=\{g\in GL(8,\mathbb{C})\mid g^{\mathsf{T}}Jg=J\},\mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{gl}(8,\mathbb{C})\mid X^{\mathsf{T}}J+JX=O\}$$
で定める。$X\in \mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})$ を冪零行列で、そのジョルダン標準形がサイズ $4,2,1,1$ の冪零ジョルダン細胞の直和であるものとする（このような $X$ は存在する）。$X$ の随伴作用に関する中心化群
$$Z(X)=\{g\in Sp(8,\mathbb{C})\mid gX{g}^{-1}=X\}$$
の複素リー群としての次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}Z(X)$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$2n+1$ 次元の実ベクトル空間 ${\mathfrak{h}}_n$ の基底を $X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_n,Z$ とし、括弧積を
$$[X_i,Y_j]={\delta }_{ij}Z(1\le i,j\le n)$$
および、これらから交代性と双線形性で定まるもの以外の基底どうしの括弧積はすべて $0$（すなわち $[X_i,X_j]=[Y_i,Y_j]=[X_i,Z]=[Y_i,Z]=0$）と定めて、実リー環（ハイゼンベルク・リー環）とする。${\mathfrak{h}}_n$ のリー環としての自己同型全体のなす群
$$\mathrm{Aut}({\mathfrak{h}}_n)=\{\phi \in GL({\mathfrak{h}}_n)\mid \phi ([u,v])=[\phi (u),\phi (v)](u,v\in {\mathfrak{h}}_n)\}$$
は $GL({\mathfrak{h}}_n)$ の閉部分群であり、実リー群になる。このリー群の次元を $n$ の式で求めよ。

$J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ とし、$9$ 次の実交代行列 $K$ をブロック対角行列
$$K=J\oplus J\oplus 2J\oplus O_3=\left(\begin{array}{cccc}J& & & \\ & J& & \\ & & 2J& \\ & & & O_3\end{array}\right)$$
で定める（$O_3$ は $3$ 次零行列、空白は零行列）。$A=I_9+K$（$I_9$ は $9$ 次単位行列）とおき、
$$G=\{g\in GL(9,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}Ag=A\}$$
とする。$G$ は $GL(9,\mathbb{R})$ の閉部分群であり、したがって実リー群である。

$G$ の（実多様体としての）次元を $d$、$G$ の連結成分の個数を $c$ とするとき、組 $(d,c)$ をこの順に求めよ。

$n$ を正の整数とし、$A\in M_n(\mathbb{R})$ を階数 $r$（$0\le r\le n$）の実対称行列とする。
$$G_A=\{g\in G{L}_n(\mathbb{R})\mid g^{T}Ag=A\}$$
とおくと、$G_A$ は $G{L}_n(\mathbb{R})$ の閉部分群である（これは用いてよい）。$G_A$ のリー環を
$${\mathfrak{g}}_A=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ に対して }\exp (tX)\in G_A\}$$
で定める。このとき、${\mathfrak{g}}_A$ は $M_n(\mathbb{R})$ の線形部分空間であり、
$${\dim }_{\mathbb{R}}{\mathfrak{g}}_A=\frac{r(r-1)}{2}+n(n-r)$$
であることを証明せよ。

ただし、行列の指数関数について $\exp (tX{)}^T=\exp (t{X}^T)$、$\frac{d}{dt}\exp (tX)=X\exp (tX)=\exp (tX)X$、$\exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。また、実対称行列に関するシルヴェスターの慣性法則（任意の実対称行列はある正則行列 $P$ により $P^T(\cdots )P$ の形で $\mathrm{diag}(I_p,-I_q,O)$ に変形できる）も用いてよい。