リー群・リー環の問題

リー環の決定. $X\in \mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})$ が $X{V}_1\subset V_1$, $X{V}_2\subset V_2$ かつ $\mathrm{tr}X=0$ をみたせば、$\exp (tX)={\sum }_{k\ge 0}{t}^k{X}^k/k!$ も $V_1,V_2$ を自分自身の中へ写す。可逆で有限次元なので $\exp (tX)V_i=V_i$ となる。さらに $\det \exp (tX)=e^{t\mathrm{tr}X}=1$ である。よって $\exp (tX)\in P$ となる。

逆に、すべての $t$ で $\exp (tX)\in P$ とする。$v\in V_i$ に対して $\exp (tX)v\in V_i$ を $t=0$ で微分すると $Xv\in V_i$ を得る（$V_i$ は閉部分空間）。また $e^{t\mathrm{tr}X}=1$ がすべての実数 $t$ で成り立つので、微分して $\mathrm{tr}X=0$ となる。したがって
$$\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})\mid X{V}_1\subset V_1,X{V}_2\subset V_2,\mathrm{tr}X=0\}.$$

行列の形. 基底を $\{e_1,e_2\},\{e_3,e_4,e_5\},\{e_6,\dots ,e_9\}$ のサイズ $2,3,4$ のブロックに分ける。$X{V}_1\subset V_1$, $X{V}_2\subset V_2$ という条件は、$X$ がブロック上三角形
$$X=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ O& A_{22}& A_{23}\\ O& O& A_{33}\end{array}\right)$$
であることと同値である。

次元の計算. 自由に選べる複素成分の個数は次のとおりである。
- 対角ブロック：$2^2+3^2+4^2=4+9+16=29$
- 上側ブロック：$2\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 4=6+8+12=26$

合計は $29+26=55$ である。これは $9^2=81$ から、下側ブロックの成分 $26$ 個を除いたものと一致する。

条件 $\mathrm{tr}X=0$ は複素線形な非自明条件 $1$ 個なので、${\dim }_{\mathbb{C}}\mathfrak{p}=55-1=54$ となる。複素ベクトル空間の実次元はその $2$ 倍なので、
$${\dim }_{\mathbb{R}}P={\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{p}=2\times 54=108.$$

$P$ は旗 $V_1\subset V_2\subset {\mathbb{C}}^9$ の安定化群（放物型部分群）である。ブロックサイズは $2,3,4$（$\dim V_1=2$、$\dim V_2/V_1=3$、$\dim {\mathbb{C}}^9/V_2=4$）で、$\mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})$ のブロック上三角行列のうち、トレースが 0 のものが $\mathfrak{p}$ である。

複素次元は、ブロック上三角行列の次元 $81-(\text{下三角部分})$ から求める。下三角ブロックの成分数は $3\cdot 2+4\cdot 2+4\cdot 3=6+8+12=26$ である。よって上三角ブロック行列の複素次元は $81-26=55$ となる。

$\det g=1$ の条件は複素 1 条件（$\mathrm{tr}X=0$）なので、複素次元は $55-1=54$ である。

$P$ は複素リー群で、実リー群としての次元はその 2 倍だから $108$ である。

検算: $\dim SL(9)=80$、$\dim (G/P)=26$（旗多様体の複素次元）より $80-26=54$ で一致する。したがって実次元は $108$ である。