リー群・リー環の問題

方針. 中心化群 $Z$ のリー環 $\mathfrak{z}=\{X\mid e^{tX}\in Z(\forall t)\}$ を、「$SO(7)$ のリー環の条件」と「$A$ との可換性の条件」の連立として求め、その次元を数える（$\dim Z=\dim \mathfrak{z}$）。

手順 1: 条件を線形化する. $g=e^{tX}$ を $g^{\mathsf{T}}g=I_7$ に代入して $t$ で微分し $t=0$ とおくと $X^{\mathsf{T}}+X=0$ を得る（$\det e^{tX}=e^{t\mathrm{tr}X}=1$ の条件 $\mathrm{tr}X=0$ は、交代行列なら対角成分がすべて $0$ なので自動的に満たされる）。また $e^{tX}A=A{e}^{tX}$ を $t$ で微分して $t=0$ とおくと $XA=AX$ を得る。逆に $XA=AX$ なら $X^{k}A=A{X}^k$ がすべての $k$ で成り立つので $e^{tX}A=A{e}^{tX}$ となる。したがって
$$\mathfrak{z}=\{X\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{R})\mid X^{\mathsf{T}}=-X,XA=AX\}.$$

手順 2: 可換性の条件を解く. $A=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_7)$ に対し、$XA=AX$ の $(i,j)$ 成分は $x_{ij}{a}_j=a_i{x}_{ij}$、すなわち $(a_i-a_j)x_{ij}=0$ である。よって $a_i\ne a_j$ のとき $x_{ij}=0$。固有値 $-1,2,5$ の重複度はそれぞれ $2,4,1$ なので、$X$ は
$$X=X_1\oplus X_2\oplus X_3(X_1:2\text{ 次},X_2:4\text{ 次},X_3:1\text{ 次})$$
のブロック対角行列になる。

手順 3: 交代性の条件を加える. $X^{\mathsf{T}}=-X$ はブロックごとに $X_k^{\mathsf{T}}=-X_k$ となるので
$$\mathfrak{z}\cong \mathfrak{so}(2)\oplus \mathfrak{so}(4)\oplus \mathfrak{so}(1).$$
$\dim \mathfrak{so}(m)=\frac{m(m-1)}{2}$ より
$$\dim \mathfrak{z}=\frac{2\cdot 1}{2}+\frac{4\cdot 3}{2}+\frac{1\cdot 0}{2}=1+6+0=7.$$

よって ${\dim }_{\mathbb{R}}Z=7$ である。

$A$ の固有値は $-1$（重複度 $2$）、$2$（重複度 $4$）、$5$（重複度 $1$）で、固有空間は ${\mathbb{R}}^7=V_{-1}\oplus V_2\oplus V_5$（$\dim =2,4,1$）と互いに直交する。$g$ が $A$ と可換であることは、$g$ が各固有空間を保つことと同値である。さらに $g\in SO(7)$ は直交なので、各固有空間への制限は直交変換になる。したがって $Z=\{(g_1,g_2,g_3)\in O(2)\times O(4)\times O(1)\mid \det g_1\det g_2\det g_3=1\}=S(O(2)\times O(4)\times O(1))$。これは $O(2)\times O(4)\times O(1)$ の指数 $2$ の開かつ閉な部分群なので、次元は等しい。$\dim O(n)=n(n-1)/2$ より、$\dim O(2)=1$、$\dim O(4)=6$、$\dim O(1)=0$。よって $\dim Z=1+6+0=7$。検算: $\mathfrak{so}(7)$（次元 $21$）の中で、$A$ の固有空間の分解に関してブロック対角な部分は $\mathfrak{so}(2)\oplus \mathfrak{so}(4)\oplus \mathfrak{so}(1)$ で次元 $1+6+0=7$。ブロック外（非対角）部分は $2\cdot 4+2\cdot 1+4\cdot 1=14$ 次元で、$7+14=21=\dim SO(7)$ と一致する。