行列の中心化環の次元

${X \in gl (n) ∣ X A = A X}$ の次元を求められる。対角化可能なら固有値の重複度 $m_{i}$ から $\sum m_{i}^{2}$ 、冪零でジョルダン型 $λ = (λ_{1}, λ_{2}, \dots)$ なら $\sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ 、一般には固有値ごとに分けて足し合わせられる

前提

ジョルダン標準形（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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ジョルダン標準形（大学数学線形代数）

説明

$n$ 次複素正方行列 $A$ に対し、 $A$ と可換な行列全体 $C (A) = {X \in gl (n, C) ∣ X A = A X}$ は $gl (n, C)$ の部分空間で、これを $A$ の中心化環といいます。この技能では、 $n^{2}$ 元の連立 1 次方程式 $X A = A X$ を直接解かずに、 $A$ のジョルダン標準形（固有値とジョルダン細胞の大きさ）だけから $dim C (A)$ を求めます。共役類の次元の計算や、行列の「一般性」の判定、表現論の計算などでよく現れる量です。

なぜそうしてよいのか

まず、正則行列 $P$ で $J = P^{- 1} A P$ とすると、 $X \mapsto P^{- 1} X P$ は $C (A)$ から $C (J)$ への線形同型です（ $X A = A X ⟺ (P^{- 1} X P) J = J (P^{- 1} X P)$ ）。また $X A = A X ⟺ X (A - α I) = (A - α I) X$ なので、スカラー行列を引いても中心化環は変わりません。よって $A$ をジョルダン標準形 $J$ に置きかえて考えてよいです。

次に $J$ を固有値ごとのブロック $J = (J_{1} O O J_{2})$ （ $J_{1}$ は $k$ 次で固有値はすべて $α$ 、 $J_{2}$ の固有値はすべて $α$ と異なる）に分け、 $X$ も同じ形に $(X_{11} X_{21} X_{12} X_{22})$ と区切ると、 $X J = J X$ は $J_{1} X_{11} = X_{11} J_{1}$ 、 $J_{2} X_{22} = X_{22} J_{2}$ 、 $J_{1} X_{12} = X_{12} J_{2}$ 、 $J_{2} X_{21} = X_{21} J_{1}$ の 4 つに分かれます。 $J_{1} X_{12} = X_{12} J_{2}$ をくり返し使うと $J_{1}^{l} X_{12} = X_{12} J_{2}^{l}$ 、したがって任意の多項式 $p$ について $p (J_{1}) X_{12} = X_{12} p (J_{2})$ です。 $p (t) = (t - α)^{k}$ とすると、ケーリー・ハミルトンの定理より $p (J_{1}) = (J_{1} - α I)^{k} = O$ 、一方 $p (J_{2}) = (J_{2} - α I)^{k}$ は行列式が（ $J_{2}$ の固有値 $β$ についての） $(β - α)$ の積の $k$ 乗で $0$ でないので正則です。よって $O = X_{12} p (J_{2})$ から $X_{12} = O$ 、同様に $p (J_{2}) X_{21} = X_{21} p (J_{1}) = O$ から $X_{21} = O$ 。つまり異なる固有値の間には可換な成分がなく、 $dim C (A)$ は固有値ごとの中心化環の次元の和になります。

最後に 1 つの固有値 $α$ の部分では、 $α I$ を引けば冪零なジョルダン細胞 $N_{m}$ （サイズ $m$ 、対角のすぐ上が $1$ 、ほかは $0$ ）の直和 $N = N_{λ_{1}} \oplus N_{λ_{2}} \oplus \dots$ になります。 $X$ を同じ形に区切った $(i, j)$ ブロック $Y$ （ $a \times b$ 型、 $a = λ_{i}$ , $b = λ_{j}$ 、成分 $Y_{r, s}$ , $1 \leq r \leq a$ , $1 \leq s \leq b$ ）についての条件は $N_{a} Y = Y N_{b}$ です。 $(N_{a} Y)_{r, s} = Y_{r + 1, s}$ 、 $(Y N_{b})_{r, s} = Y_{r, s - 1}$ （ただし $Y_{a + 1, s} = 0$ 、 $Y_{r, 0} = 0$ と約束する）なので、条件は
$Y_{r + 1, s} = Y_{r, s - 1} (1 \leq r \leq a, 1 \leq s \leq b)$
です。(i) 両辺とも範囲内のとき、 $(r + 1, s)$ と $(r, s - 1)$ は $c = s - r$ が同じなので、 $Y$ は各斜線（ $s - r = c$ が一定の成分の列）の上で一定です。(ii) $r = a$ のときは左辺が $0$ で、 $Y_{a, t} = 0$ （ $1 \leq t \leq b - 1$ ）、つまり最下行のうち右下隅 $(a, b)$ 以外の成分が $0$ 。(iii) $s = 1$ のときは右辺が $0$ で、 $Y_{r, 1} = 0$ （ $2 \leq r \leq a$ ）、つまり最左列のうち左上隅 $(1, 1)$ 以外の成分が $0$ 。条件はこれで全部で、斜線は $c = 1 - a, \dots, b - 1$ の $a + b - 1$ 本あります。(ii) の成分 $(a, t)$ を通る斜線は $c = t - a$ （ $1 - a \leq c \leq b - 1 - a$ ）、(iii) の成分 $(r, 1)$ を通る斜線は $c = 1 - r$ （ $1 - a \leq c \leq - 1$ ）で、これらの斜線の上の成分はすべて $0$ 。それ以外の斜線は値を 1 つ自由に選べます。自由な斜線は
- $a \leq b$ のとき: $c = b - a, b - a + 1, \dots, b - 1$ の $a$ 本
- $a > b$ のとき: $c = 0, 1, \dots, b - 1$ の $b$ 本

で、どちらも $min (a, b)$ 本です。例えば $λ = (2, 1)$ なら、 $2 \times 2$ 型 $(y_{1} 0 y_{2} y_{1})$ （ $c = 0, 1$ が自由）で $2$ 次元、 $2 \times 1$ 型 $(y 0)$ （ $c = 0$ が自由）で $1$ 次元、 $1 \times 2$ 型 $(0 y)$ （ $c = 1$ が自由）で $1$ 次元、 $1 \times 1$ 型で $1$ 次元です。各ブロックの条件は互いに独立なので、全ブロックで足して $\sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ が得られます。対角化可能（細胞がすべてサイズ 1）なら、重複度 $m$ の固有値の寄与は $m^{2}$ 個の $min (1, 1) = 1$ の和で $m^{2}$ です。

手順

$A$ の固有値 $α_{1}, \dots, α_{r}$ と重複度を求める
各固有値 $α$ について、ジョルダン細胞の大きさの組 $λ = (λ_{1}, λ_{2}, \dots)$ を決める。細胞の個数は $dim ker (A - α I) = n - rank (A - α I)$ 、必要なら $rank (A - α I)^{k}$ も使う
各固有値ごとに $d_{α} = \sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ を計算する（ $i, j$ は順序付きで全組を走る。 $i \neq = j$ の項は 2 回ずつ数える）。細胞がすべてサイズ 1 なら $d_{α} = m^{2}$
異なる固有値の間の寄与は $0$ なので、 $dim C (A) = \sum_{α} d_{α}$ として足し合わせる

例題

$A = 3000130010300005$ とする。複素行列のなすベクトル空間 $C (A) = {X \in gl (4, C) ∣ X A = A X}$ の次元を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $A$ は上三角なので固有値は対角成分で、 $3$ （重複度 $3$ ）と $5$ （重複度 $1$ ）。

【手順 2】固有値 $3$ について
$A - 3 I = 0000100010000002$
の階数は $2$ なので、 $dim ker (A - 3 I) = 4 - 2 = 2$ 。固有値 $3$ のジョルダン細胞は 2 個で、大きさの和が $3$ だから $λ = (2, 1)$ 。固有値 $5$ は重複度 $1$ なので $λ = (1)$ 。

【手順 3】固有値 $3$ の寄与は
$min (2, 2) + min (1, 1) + min (2, 1) + min (1, 2) = 2 + 1 + 1 + 1 = 5.$
固有値 $5$ の寄与は $min (1, 1) = 1$ 。

【手順 4】異なる固有値の間の寄与は $0$ なので $dim C (A) = 5 + 1 = 6$ 。

答え: $6$

よくある誤り

$\sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ の $i \neq = j$ の項を 1 回しか数えない誤り。 $λ = (2, 1)$ で $2 + 1 + 1 = 4$ としてしまう。正しくは $(i, j) = (1, 2), (2, 1)$ の両方を数えて $2 + 1 + 2 \cdot 1 = 5$ 。
重複度だけを見て、対角化できない場合にも $\sum m_{i}^{2}$ を使ってしまう誤り。例えば $J_{2} (3) \oplus J_{1} (3)$ に $3^{2} = 9$ を当てるのは誤りで、正しくは $λ = (2, 1)$ から $5$ 。 $\sum m_{i}^{2}$ は対角化可能なときだけ使える。
異なる固有値の細胞どうしの間にも $min (λ_{i}, λ_{j})$ を足してしまう誤り。上の例で固有値 $3$ と $5$ を 1 つの組 $(2, 1, 1)$ とみて $\sum min = 10$ とするのは誤り。正しくは固有値ごとに分けて $5 + 1 = 6$ 。
ジョルダン細胞の個数を重複度 $3$ からそのまま 3 個とする、あるいは $rank (A - α I)$ と取り違える誤り。正しくは細胞の個数は $dim ker (A - α I) = n - rank (A - α I)$ （上の例では $4 - 2 = 2$ 個）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$7$ 次の実対角行列
$A = diag (1, - 1, 1, - 1, 1, 1, 3)$
を考える。 $A$ の中心化環
$z (A) = {X \in gl (7, R) ∣ X A = A X}$
の実ベクトル空間としての次元を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

軌道の次元（大学院数学リー群・リー環）
古典群の中心化群・等方部分群の次元（大学院数学リー群・リー環）