古典群の中心化群・等方部分群の次元

$S U (n)$ , $S p (2 n, C)$ などの古典群で元 $g$ や $X$ の中心化群、また $g Ω g^{T} = Ω$ のような作用の等方部分群について、そのリー環（古典リー環の条件と可換性の条件の連立）の次元を求められる（例: $S U (n)$ で $X_{0}$ の固有値の重複度 $m_{i}$ から $\sum m_{i}^{2} - 1$ ）

前提

古典群の次元（大学院数学リー群・リー環）
行列の中心化環の次元（大学院数学リー群・リー環）

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算数中学高校大学大学院

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行列の中心化環の次元（大学院数学リー群・リー環）

説明

古典群 $G$ （ $S U (n)$ 、 $S p (2 n, C)$ など）の元 $g$ やリー環の元 $X$ に対し、それと可換な $G$ の元全体（中心化群） $Z_{G} (g) = {h \in G ∣ h g = g h}$ 、 $Z_{G} (X) = {h \in G ∣ h X h^{- 1} = X}$ の次元を求めます。同じ方法で、 $Ω \mapsto g Ω g^{T}$ のような作用で $Ω$ を動かさない元全体（等方部分群）の次元も求められます。どれも「 $G$ のリー環の条件」と「可換性（または $Ω$ を保つ）条件」を連立させた線形条件の解空間の次元として数えるので、共役類の次元や等質空間の次元を出すときの基本の計算になります。

なぜそうしてよいのか

中心化群や等方部分群は、 $G$ の定義方程式に「 $h g = g h$ 」や「 $h Ω h^{T} = Ω$ 」を加えた方程式で定まる閉部分群です。前提の技能のとおり $h = e^{t Y}$ を代入して $t$ で微分し $t = 0$ とおくと、そのリー環は $g$ の条件に、 $Y g = g Y$ （ $e^{t Y} g = g e^{t Y}$ の線形化）、 $Y X = X Y$ （ $e^{t Y} X e^{- t Y} = X$ の線形化）、 $Y Ω + Ω Y^{T} = 0$ （ $e^{t Y} Ω e^{t Y^{T}} = Ω$ の線形化）を連立したものになります。逆に $Y$ がこれらを満たせば $e^{t Y}$ も元の条件を満たすので、群の次元はこの線形空間の次元に等しくなります。

可換性の条件は、相手を対角化した基底で見ると簡単になります。 $X_{0} = diag (λ_{1} I_{m_{1}}, \dots, λ_{k} I_{m_{k}})$ （ $λ_{i}$ は相異なる）なら、 $Y$ を同じ形でブロックに分けたとき $(Y X_{0} - X_{0} Y)$ の $(i, j)$ ブロックは $(λ_{j} - λ_{i}) Y_{ij}$ なので、 $Y X_{0} = X_{0} Y$ は「非対角ブロックがすべて $0$ 」と同値です。したがって中心化環は $gl (m_{1}) \oplus \dots \oplus gl (m_{k})$ で、そこに $g$ の条件を各ブロックに課して数えます。

例えば $X_{0} \in su (n)$ は反エルミートなのでユニタリ行列 $U$ で対角化でき、 $Y \mapsto U^{- 1} Y U$ は $su (n)$ をそれ自身に移すので、最初から $X_{0}$ が対角だとしてよいです。ブロック対角の $Y$ が $Y^{*} = - Y$ を満たすことは各ブロックが $u (m_{i})$ （実次元 $m_{i}^{2}$ ）に入ることで、最後に $tr Y = \sum tr Y_{ii} = 0$ が実の条件 1 本（ $tr Y$ はもともと純虚数）なので、実次元は $\sum m_{i}^{2} - 1$ になります。

手順

$G$ のリー環 $g$ の条件を書く（例: $su (n)$ なら $Y^{*} = - Y, tr Y = 0$ 、 $sp (2 n, C)$ なら $Y^{T} J + J Y = 0$ ）
中心化・等方の条件を線形化して加える（ $Y g = g Y$ 、 $Y X = X Y$ 、 $Y Ω + Ω Y^{T} = 0$ など）
$g$ の条件を崩さない基底の取り替え（ $S U (n)$ ならユニタリ行列による共役）で $g$ や $X$ を対角化し、固有値と重複度 $m_{i}$ を読む
可換性から $Y$ を固有空間ごとのブロック対角に制限し、各ブロックに $g$ の条件を課して次元を数える（ $u (m)$ は実次元 $m^{2}$ ）
トレース $0$ のようにブロック全体にかかる条件の本数を引き、実次元か複素次元かを明記して答える

例題

$X_{0} = diag (i, i, i, - 3 i) \in su (4)$ とする。 $S U (4)$ における $X_{0}$ の中心化群 $Z = {h \in S U (4) ∣ h X_{0} h^{- 1} = X_{0}}$ の実次元を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $su (4) = {Y \in M_{4} (C) ∣ Y^{*} = - Y, tr Y = 0}$ 。

【手順 2】 $h = e^{t Y}$ を $h X_{0} h^{- 1} = X_{0}$ に代入して線形化すると $Y X_{0} - X_{0} Y = 0$ 。よって $Z$ のリー環は ${Y \in su (4) ∣ Y X_{0} = X_{0} Y}$ 。

【手順 3】 $X_{0}$ はすでに対角で、固有値は $i$ （重複度 $m_{1} = 3$ ）と $- 3 i$ （重複度 $m_{2} = 1$ ）。

【手順 4】 $i \neq = - 3 i$ なので、可換性から $Y = (A 0 0 b)$ （ $A$ は $3 \times 3$ 、 $b$ は $1 \times 1$ ）。 $Y^{*} = - Y$ より $A \in u (3)$ （実次元 $9$ ）、 $b \in u (1) = i R$ （実次元 $1$ ）。合わせて実次元 $10$ 。

【手順 5】 $tr Y = tr A + b = 0$ は、 $tr A + b$ が純虚数なので実の条件 1 本。よって実次元は $10 - 1 = 9$ （ $= 3^{2} + 1^{2} - 1$ ）。

答え: $9$

よくある誤り

トレースの条件を落として $\sum m_{i}^{2}$ のままにする誤り。例題で $3^{2} + 1^{2} = 10$ と答えてしまう。正しくは $tr Y = 0$ が実の条件 1 本なので $10 - 1 = 9$ （ $U (4)$ での中心化群なら $10$ ）
$gl (n, C)$ の中心化環の実次元 $2 \sum m_{i}^{2}$ を使ってしまう誤り。例題で $2 \cdot 10 - 2 = 18$ とする。正しくは $Y^{*} = - Y$ によって各ブロックは $u (m_{i})$ に制限され、実次元は $m_{i}^{2}$ （ $2 m_{i}^{2}$ の半分）なので $9$
元 $g$ の中心化群で、固有値が一致する特別な場合を見落とす誤り。 $g = diag (e^{i θ}, e^{- i θ}) \in S U (2)$ で「 $θ \neq = 0$ だから固有値は相異なり次元 $1^{2} + 1^{2} - 1 = 1$ 」とする。正しくは $θ = π$ のとき $g = - I$ で固有値は $- 1$ （重複度 2）となり、中心化群は $S U (2)$ 全体で次元 $2^{2} - 1 = 3$ 。相異なるのは $e^{i θ} \neq = e^{- i θ}$ 、すなわち $θ$ が $π$ の整数倍でないとき
$S U (n)$ 以外の古典群でも $\sum m_{i}^{2}$ 型の数え方をそのまま使う誤り。 $X = diag (1, - 1) \in sp (2, C)$ で $gl (2)$ の中心化環の複素次元 $1^{2} + 1^{2} = 2$ を答える。正しくは対角行列 $diag (a, d)$ に $sp (2, C) = sl (2, C)$ の条件 $a + d = 0$ が加わり、複素次元は $1$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$7$ 次の実対角行列 $A = diag (- 1, - 1, 2, 2, 2, 2, 5)$ を考える。実特殊直交群 $S O (7) = {g \in G L (7, R) ∣ g^{T} g = I_{7}, det g = 1}$ （ $I_{7}$ は $7$ 次単位行列）における $A$ の中心化群 $Z = {g \in S O (7) ∣ g A = A g}$ は $S O (7)$ の閉部分群であり、実リー群である。 $Z$ の実リー群としての次元 $dim_{R} Z$ を求めよ。

古典群の中心化群・等方部分群の次元

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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