リー群・リー環の問題

1. リー環への帰着. $Z(X)$ は $Sp(8,\mathbb{C})$ の閉部分群で、そのリー環は
$$\mathfrak{z}(X)=\{Y\in \mathfrak{sp}(8,\mathbb{C})\mid [Y,X]=O\}$$
である。よって ${\dim }_{\mathbb{C}}Z(X)={\dim }_{\mathbb{C}}\mathfrak{z}(X)=\dim \ker (\mathrm{ad}X{|}_{\mathfrak{sp}})$ を求めればよい。

2. $\mathfrak{sp}(V)\cong S^{2}V$. $V={\mathbb{C}}^8$ 上のシンプレクティック形式を $\omega (u,v)=u^{\mathsf{T}}Jv$ とする。$Y\in \mathfrak{gl}(V)$ に双線形形式 $b_Y(u,v)=\omega (Yu,v)$ を対応させると、$Y\in \mathfrak{sp}(V)$ と $b_Y$ が対称であることは同値である。$\omega$ により $V\cong V^{\ast }$ と同一視すれば、これは $Sp(V)$ 同変（したがって $\mathfrak{sp}(V)$ 同変）な同型
$$\mathfrak{sp}(V)\cong S^{2}V$$
を与える。随伴作用 $\mathrm{ad}X$ は $S^{2}V$ 上では $X$ の自然な作用 $u\cdot v\mapsto Xu\cdot v+u\cdot Xv$ に対応する。

3. ${\mathfrak{sl}}_2$-三つ組. ヤコブソン–モロゾフの定理（$\mathfrak{sp}(V)$ は単純リー環）により、$X$ を含む ${\mathfrak{sl}}_2$-三つ組 $(X,H,Y^{\prime })$ を $\mathfrak{sp}(V)$ 内にとれる。$V$ はこの ${\mathfrak{sl}}_2$ の表現として既約表現の直和に分解し、$X$ のジョルダン細胞のサイズが既約成分の次元に一致する。$a$ 次元既約表現を $V_a$ と書くと
$$V\cong V_4\oplus V_2\oplus V_1\oplus V_1.$$
有限次元 ${\mathfrak{sl}}_2$-表現 $W$ において、$X$ の核は各既約成分の最高ウェイトベクトルで張られるので、$\dim \ker (X{|}_W)$ は $W$ の既約成分の個数に等しい。

4. 既約成分の個数の計算. クレブシュ–ゴルダン則より $V_a\otimes V_b\cong V_{a+b-1}\oplus V_{a+b-3}\oplus \cdots \oplus V_{|a-b|+1}$ で、既約成分は $\min (a,b)$ 個である。また $V_a\otimes V_a=S^2{V}_a\oplus {\Lambda }^2{V}_a$ で、$S^2{V}_a\cong V_{2a-1}\oplus V_{2a-5}\oplus \cdots$ は $\lceil a/2\rceil$ 個の既約成分をもつ。さらに
$$S^2\left(\underset{i}{⨁}{V}_{{\lambda }_i}\right)=\underset{i}{⨁}{S}^2{V}_{{\lambda }_i}\oplus \underset{i<j}{⨁}{V}_{{\lambda }_i}\otimes V_{{\lambda }_j}$$
であるから
$$\dim \mathfrak{z}(X)=\sum _{i<j}\min ({\lambda }_i,{\lambda }_j)+\sum _i\lceil \frac{{\lambda }_i}{2}\rceil .$$
$({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4)=(4,2,1,1)$ のとき、
- ${\sum }_{i<j}\min$: $(4,2)\to 2$, $(4,1)\to 1$, $(4,1)\to 1$, $(2,1)\to 1$, $(2,1)\to 1$, $(1,1)\to 1$ で合計 $7$。
- $\sum \lceil {\lambda }_i/2\rceil =2+1+1+1=5$。

よって $\dim \mathfrak{z}(X)=7+5=12$。

検算. 一般公式 $\dim \mathfrak{z}(X)=\frac{1}{2}{\sum }_k({\lambda }_k^{\mathsf{T}}{)}^2+\frac{1}{2}\#\{i\mid {\lambda }_i\text{ は奇数}\}$ と照合する。転置分割は ${\lambda }^{\mathsf{T}}=(4,2,1,1)$ なので
$$\frac{1}{2}(16+4+1+1)+\frac{1}{2}\cdot 2=11+1=12$$
となり一致する。また軌道の次元は $\dim \mathfrak{sp}(8)-12=36-12=24$ で偶数であり、矛盾はない。

したがって ${\dim }_{\mathbb{C}}Z(X)=12$。

$Sp(8,\mathbb{C})$ の冪零軌道はサイズ $8$ の分割で、奇数の部分が偶数回現れるものに対応する。$\lambda =[4,2,1,1]$ では奇数の部分 $1$ が $2$ 回現れるので条件を満たす。

${\mathfrak{sp}}_{2n}$ の冪零元 $X$ の中心化代数の次元には既知の公式がある。
$$\dim \mathfrak{z}(X)=\frac{1}{2}(\sum _i({\lambda }_i^{\ast }{)}^2+\#\{j\mid {\lambda }_j\text{ は奇数}\}).$$
ここで ${\lambda }^{\ast }$ は $\lambda$ の双対分割である。

$\lambda =[4,2,1,1]$ の双対分割は ${\lambda }^{\ast }=[4,2,1,1]$ で、$\sum ({\lambda }_i^{\ast }{)}^2=16+4+1+1=22$ となる。奇数の部分は $1,1$ の $2$ 個である。したがって
$$\dim \mathfrak{z}(X)=\frac{1}{2}(22+2)=12.$$

検算として、この公式を両端の場合に当てはめる。零軌道 $[1^8]$ では ${\lambda }^{\ast }=[8]$ なので $(64+8)/2=36=\dim {\mathfrak{sp}}_8$ となる。正則軌道 $[8]$ では ${\lambda }^{\ast }=[1^8]$ なので $(8+0)/2=4=\mathrm{rank}$ となる。どちらも正しい値である。

$Z(X)$ は代数群で、そのリー環は $\mathfrak{z}(X)$ だから、${\dim }_{\mathbb{C}}Z(X)=12$ である。