行列の指数関数と連立線形微分方程式

対角化（ジョルダン標準形）を使って $e^{t A}$ を計算し、連立線形微分方程式 $x^{'} = A x$ を解ける

前提

ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

説明

正方行列 $A$ に対して、指数関数 $e^{x}$ のべき級数と同じ形で行列の指数関数 $e^{t A}$ を定義します。これを使うと、未知関数が複数あって互いに絡み合う連立線形微分方程式 $x^{'} (t) = A x (t)$ を、1 変数の $y^{'} = a y$ の解 $y = e^{a t} y (0)$ と同じ形の $x (t) = e^{t A} x (0)$ で解けます。 $e^{t A}$ を具体的に計算するには、対角化（できないときはジョルダン標準形）を使います。振動・回路・化学反応・個体数モデルなど、線形な連立系を解く場面で使います。

なぜそうしてよいのか

実数 $a$ では $e^{t a} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{( t a ) ^{k}}{k !}$ でした。そこで $n$ 次正方行列 $A$ に対して $e^{t A} = k = 0 \sum \infty \frac{t ^{k}}{k !} A^{k} = I + t A + \frac{t ^{2}}{2 !} A^{2} + \dots (A^{0} = I)$ と定義します。 $A$ の成分の絶対値の最大値を $M$ とすると、 $k \geq 1$ のとき $A^{k}$ の各成分の絶対値は $n^{k - 1} M^{k}$ 以下です（積の各成分は $n$ 個の積の和だから）。したがって各成分の級数はすべての実数 $t$ で絶対収束し、収束半径は無限大です。よって成分ごとに項別微分でき、 $\frac{d}{d t} e^{t A} = k = 1 \sum \infty \frac{t ^{k - 1}}{( k - 1 )!} A^{k} = A e^{t A} = e^{t A} A$ が成り立ちます。ゆえに $x (t) = e^{t A} x_{0}$ は $x^{'} = A x$ , $x (0) = x_{0}$ を満たします。また $B C = C B$ のときは数の場合と同じく二項展開が使えて $e^{t (B + C)} = e^{tB} e^{tC}$ となり、特に $e^{- t A} e^{t A} = I$ です。別の解 $x$ があったとして $y = e^{- t A} x$ とおくと、積の微分により $y^{'} = - A e^{- t A} x + e^{- t A} A x = 0$ （ $A$ と $e^{- t A}$ は交換可能）なので $y$ は定数 $y (0) = x_{0}$ となり、 $x = e^{t A} x_{0}$ に限られます。

計算は標準形に帰着させます。 $A = P J P^{- 1}$ なら $A^{k} = P J^{k} P^{- 1}$ なので、級数の各項をまとめて $e^{t A} = P e^{t J} P^{- 1}$ です。 $J$ が対角行列 $diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ なら $J^{k} = diag (λ_{1}^{k}, \dots, λ_{n}^{k})$ より $e^{t J} = diag (e^{λ_{1} t}, \dots, e^{λ_{n} t})$ です。 $m$ 次のジョルダン細胞 $λ I + N$ （ $N$ は対角のすぐ上に 1 が並び他は 0 の行列で $N^{m} = O$ ）なら、 $λ I$ と $N$ は交換可能なので $e^{t (λ I + N)} = e^{λ t} e^{tN} = e^{λ t} (I + tN + \frac{t ^{2}}{2 !} N^{2} + \dots + \frac{t ^{m - 1}}{( m - 1 )!} N^{m - 1})$ と有限和になります。

これは 1 階線形微分方程式の解き方とも一致します。2 次のジョルダン細胞なら、方程式は $y_{2}^{'} = λ y_{2}$ , $y_{1}^{'} = λ y_{1} + y_{2}$ です。前者から $y_{2} = c_{2} e^{λ t}$ 、後者 $y_{1}^{'} - λ y_{1} = c_{2} e^{λ t}$ を積分因子 $e^{- λ t}$ で解くと $(e^{- λ t} y_{1})^{'} = c_{2}$ より $y_{1} = (c_{1} + c_{2} t) e^{λ t}$ となり、上の式に現れる $t e^{λ t}$ の項がそのまま出てきます。

手順

固有多項式 $det (λ I - A)$ を求めて固有値を出す。
対角化できるなら $A = P D P^{- 1}$ となる $P$ , $D$ を、できないならジョルダン標準形 $A = P J P^{- 1}$ となる $P$ , $J$ を求める。
$e^{t J}$ を書く。対角成分 $λ_{i}$ は $e^{λ_{i} t}$ に、 $m$ 次のジョルダン細胞 $λ I + N$ は $e^{λ t} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{t ^{k}}{k !} N^{k}$ にする。
$e^{t A} = P e^{t J} P^{- 1}$ を計算する。固有値が $λ$ ただ 1 つで $(A - λ I)^{m} = O$ のときは、 $P$ を使わずに $e^{t A} = e^{λ t} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{t ^{k}}{k !} (A - λ I)^{k}$ と直接計算してよい。
初期値を使って $x (t) = e^{t A} x (0)$ を求め、 $x^{'} = A x$ と初期条件を満たすか検算する。

例題

連立微分方程式 $x_{1}^{'} = 3 x_{1} + x_{2}$ , $x_{2}^{'} = - x_{1} + x_{2}$ を初期条件 $x_{1} (0) = 1$ , $x_{2} (0) = 2$ のもとで解き、 $x_{1} (t)$ を求めよ。

例題の解答

$A = (3 - 1 11)$ , $x (0) = (12)$ とおくと、方程式は $x^{'} = A x$ である。

手順 1: $det (λ I - A) = (λ - 3) (λ - 1) + 1 = λ^{2} - 4 λ + 4 = (λ - 2)^{2}$ なので、固有値は $2$ （重解）のみ。

手順 2: $N = A - 2 I = (1 - 1 1 - 1) \neq = O$ なので $A$ は対角化できず、ジョルダン標準形は $(2012)$ である。さらに $N^{2} = (1 - 1 - 1 + 1 1 - 1 - 1 + 1) = O$ が成り立つ。

手順 3・4: 固有値が 2 だけで $N^{2} = O$ なので、手順 4 の直接計算を使う。 $2 I$ と $N$ は交換可能だから $e^{t A} = e^{2 t} e^{tN} = e^{2 t} (I + tN) = e^{2 t} (1 + t - t t 1 - t) .$

手順 5: $x (t) = e^{2 t} (1 + t - t t 1 - t) (12) = e^{2 t} (1 + 3 t 2 - 3 t) .$ 検算: $x_{1}^{'} = (2 + 6 t + 3) e^{2 t} = (5 + 6 t) e^{2 t}$ で、 $3 x_{1} + x_{2} = (3 + 9 t + 2 - 3 t) e^{2 t} = (5 + 6 t) e^{2 t}$ と一致する。 $x_{2}^{'} = (4 - 6 t - 3) e^{2 t} = (1 - 6 t) e^{2 t}$ で、 $- x_{1} + x_{2} = (- 1 - 3 t + 2 - 3 t) e^{2 t} = (1 - 6 t) e^{2 t}$ と一致する。 $t = 0$ で $(x_{1}, x_{2}) = (1, 2)$ にもなっている。

よって $x_{1} (t) = (1 + 3 t) e^{2 t}$ 。

答え: $(1 + 3 t) e^{2 t}$

よくある誤り

$e^{t A}$ を成分ごとの指数関数としてしまう誤り。例えば $A = (0010)$ で $e^{t A} = (11 e^{t} 1)$ とするのは誤り。正しくは級数で定義され、 $A^{2} = O$ より $e^{t A} = I + t A = (10 t 1)$ 。
いつでも $e^{t (B + C)} = e^{tB} e^{tC}$ としてしまう誤り。これは $B C = C B$ のときだけ成り立つ。 $e^{t A} = e^{λ t} e^{t (A - λ I)}$ と分けてよいのは、 $λ I$ がどの行列とも交換可能だからである。
ジョルダン細胞の指数関数で $t$ の多項式部分を落とす誤り。 $e^{t (λ 0 1 λ)}$ を $(e^{λ t} 0 0 e^{λ t})$ や $(e^{λ t} 0 e^{t} e^{λ t})$ とするのは誤り。正しくは $e^{λ t} (10 t 1)$ 。
変換行列の順序を逆にして $e^{t A} = P^{- 1} e^{t J} P$ としてしまう誤り。正しくは $A = P J P^{- 1}$ のとき $e^{t A} = P e^{t J} P^{- 1}$ 。また、初期条件が $t = t_{0}$ で与えられたときに $x (t) = e^{t A} x (t_{0})$ とするのも誤りで、正しくは $x (t) = e^{(t - t_{0}) A} x (t_{0})$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の難問レベル）
状態 $x (t) = (x_{1} (t) x_{2} (t)) \in R^{2}$ 、入力 $u (t) \in R$ をもつ線形時不変系
$x ˙_{1} (t) = x_{2} (t), x ˙_{2} (t) = - x_{1} (t) + u (t)$
を考える。初期状態 $x (0) = (10)$ から、時刻 $T = π$ に $x (π) = (00)$ となるように状態を移す入力 $u$ を考える。ただし $u$ は区間 $[0, π]$ 上の区分的に連続な実数値関数全体を動くものとする。このような入力のうち、入力エネルギー
$E (u) = \int_{0}^{π} u (t)^{2} d t$
を最小にするときの $E (u)$ の最小値を求めよ。

この技能の次に学べること

行列リー群のリー環（大学院数学リー群・リー環）
零次ホールド離散化とサンプル値系の可制御性（大学院数学制御理論）
2 準位系の時間発展（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ウィグナーの D 関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））