零次ホールド離散化とサンプル値系の可制御性

零次ホールド離散化 $Φ = e^{A T}$ , $Γ = \int_{0}^{T} e^{A σ} b d σ$ を求め、 $A$ の固有値の虚部の差が $2 π k / T$ になるときなどに $(Φ, Γ)$ が可制御でなくなるサンプリング周期 $T$ をすべて求められる

前提

可制御性と可観測性（大学院数学制御理論）
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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オイラーの公式（大学数学微分積分）

説明

連続時間の線形系 $x ˙ = A x + b u$ を、入力 $u$ を周期 $T$ ごとに一定値に保つ（零次ホールド）コンピュータで制御すると、サンプル時刻の状態は離散時間系 $x_{k + 1} = Φ x_{k} + Γ u_{k}$ に従います。この技能では $Φ = e^{A T}$ , $Γ = \int_{0}^{T} e^{A σ} b d σ$ を計算し、離散化した系 $(Φ, Γ)$ が可制御かどうかを調べます。特に、もとの連続系が可制御でも、サンプリング周期 $T$ の選び方が悪いと可制御性が失われることがあり、そのような $T$ をすべて求めることが目標です。

なぜそうしてよいのか

離散化の式の由来. $x ˙ = A x + b u$ の両辺に左から $e^{- A t}$ を掛けると $\frac{d}{d t} (e^{- A t} x (t)) = e^{- A t} b u (t)$ となります（ $\frac{d}{d t} e^{- A t} = - A e^{- A t}$ と積の微分による）。これを $t = k T$ から $(k + 1) T$ まで積分し、その区間で $u (t) = u_{k}$ （一定）とすると $x ((k + 1) T) = e^{A T} x (k T) + (\int_{k T}^{(k + 1) T} e^{A ((k + 1) T - τ)} d τ) b u_{k}$ です。積分で $σ = (k + 1) T - τ$ と置換すれば $\int_{0}^{T} e^{A σ} d σ b$ となり、 $Φ = e^{A T}$ , $Γ = \int_{0}^{T} e^{A σ} b d σ$ が得られます。 $Φ, Γ$ が $k$ によらないので、離散時間系の可制御性は可制御性行列 $(Γ ΦΓ \dots Φ^{n - 1} Γ)$ の階数が $n$ かどうかで判定できます。

可制御性が失われるしくみ. $A$ が対角化可能で $A = P diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) P^{- 1}$ なら $Φ = P diag (e^{λ_{1} T}, \dots, e^{λ_{n} T}) P^{- 1}$ で、 $Φ$ の固有値は $e^{λ_{i} T}$ です。異なる固有値 $λ_{1} \neq = λ_{2}$ でも $e^{λ_{1} T} = e^{λ_{2} T}$ 、すなわち（オイラーの公式より） $λ_{1} - λ_{2} = \frac{2 π k}{T} i$ （ $k$ は 0 でない整数）となると、 $Φ$ は同じ固有値 $μ = e^{λ_{1} T}$ に対して 2 次元以上の左固有ベクトルの空間（ $w Φ = μ w$ を満たす行ベクトル $w$ の空間）をもちます。2 次元の空間の中で 1 つの一次方程式 $w Γ = 0$ を満たす $w \neq = 0$ は必ず存在し、その $w$ について $w Φ^{j} Γ = μ^{j} w Γ = 0$ がすべての $j$ で成り立ちます。つまり $w$ は可制御性行列のすべての列と直交し、階数は $n$ 未満になります。入力が 1 本なので、同じ値に重なった 2 つのモードを 1 本の入力で別々に動かせなくなるのです。直観的には、振動の周期の整数倍ごとにしか観測・操作しないと、振動の位相の違いが見えなくなる現象です。

逆に、 $(A, b)$ が可制御で、異なる固有値のどの組についても $e^{λ_{i} T} \neq = e^{λ_{j} T}$ ならば $(Φ, Γ)$ は可制御であることが知られています。ただし具体的な問題では、 $Φ, Γ$ を求めて可制御性行列の行列式（または階数）を $T$ の関数として直接計算するのが確実です。固有値の条件は答えの見当づけと検算に使えます。

手順

$A$ を対角化（またはジョルダン標準形に）して $Φ = e^{A T}$ を求める。複素固有値のときはオイラーの公式で実の三角関数に直す。
$e^{A σ} b$ を成分ごとに $0$ から $T$ まで積分して $Γ = \int_{0}^{T} e^{A σ} b d σ$ を求める（ $A$ が正則なら $Γ = A^{- 1} (Φ - I) b$ でもよい）。
可制御性行列 $C (T) = (Γ ΦΓ \dots Φ^{n - 1} Γ)$ を作り、 $det C (T)$ を $T$ の式として計算・因数分解する。
$det C (T) = 0$ となる $T > 0$ をすべて求める。これが可制御性が失われるサンプリング周期である。
検算として、 $A$ の異なる固有値の組で $λ_{i} - λ_{j} = \frac{2 π k}{T} i$ （ $k \neq = 0$ の整数）となる $T$ と一致するかを確かめる。

例題

$A = (0 - 1 10)$ , $b = (01)$ の連続時間系 $x ˙ = A x + b u$ を、サンプリング周期 $T$ の零次ホールドで離散化した系を $(Φ, Γ)$ とする。 $0 < T < 4 π$ の範囲で、 $(Φ, Γ)$ が可制御でなくなる $T$ をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1（ $Φ$ ）. $A$ の固有値は $λ^{2} + 1 = 0$ より $\pm i$ 。対角化して $e^{\pm i T} = cos T \pm i sin T$ をまとめると
$Φ = e^{A T} = (cos T - sin T sin T cos T) .$
（実際、これは $t = 0$ で $I$ になり、 $t$ で微分すると $A$ を掛けたものになる。）

手順 2（ $Γ$ ）. $e^{A σ} b = (sin σ cos σ)$ なので
$Γ = \int_{0}^{T} (sin σ cos σ) d σ = (1 - cos T sin T) .$

手順 3（可制御性行列）.
$ΦΓ = (cos T (1 - cos T) + sin^{2} T - sin T (1 - cos T) + sin T cos T) = (cos T - cos 2 T sin 2 T - sin T) .$
よって
$det (Γ ΦΓ) = (1 - cos T) (sin 2 T - sin T) - sin T (cos T - cos 2 T) .$
展開すると $sin 2 T - sin T - cos T sin 2 T + sin T cos T - sin T cos T + sin T cos 2 T$ で、加法定理より $sin T cos 2 T - cos T sin 2 T = sin (T - 2 T) = - sin T$ だから
$det (Γ ΦΓ) = sin 2 T - 2 sin T = 2 sin T (cos T - 1) = - 2 sin T (1 - cos T) .$

手順 4（ $T$ を求める）. $det = 0 ⟺ sin T = 0$ または $cos T = 1$ 。 $cos T = 1$ なら $sin T = 0$ なので、条件は $sin T = 0$ 、すなわち $T = k π$ （ $k$ は正の整数）。 $0 < T < 4 π$ では $T = π, 2 π, 3 π$ 。それ以外の $T$ では $det \neq = 0$ で可制御。

手順 5（検算）. 固有値の差は $i - (- i) = 2 i$ 。 $2 = \frac{2 π k}{T}$ より $T = k π$ で、手順 4 と一致する。なお $T = 2 π, 3 π$ ... のうち $T = 2 π$ では $Γ = 0$ にまでなっている。

答え: ${π, 2 π, 3 π}$

よくある誤り

$A$ が正則でないのに $Γ = A^{- 1} (e^{A T} - I) b$ を使ってしまう誤り。正しくは定義 $Γ = \int_{0}^{T} e^{A σ} b d σ$ に戻って成分ごとに積分する。例えば $A = (0010)$ , $b = (01)$ なら $e^{A σ} b = (σ 1)$ より $Γ = (T^{2} /2 T)$ 。
連続系 $(A, b)$ が可制御なら離散化した系も必ず可制御だとしてしまう誤り。正しくは、 $e^{λ_{i} T} = e^{λ_{j} T}$ となる $T$ では可制御性が失われうる。例題では $(A, b)$ は可制御だが、 $T = π$ で $Φ = - I$ となり $ΦΓ = - Γ$ で階数 1 になる。
固有値の虚部の差だけを見て $∣ Im (λ_{i} - λ_{j}) ∣ = \frac{2 π k}{T}$ なら可制御でなくなるとしてしまう誤り。正しくは $e^{λ_{i} T} = e^{λ_{j} T} ⟺ λ_{i} - λ_{j} = \frac{2 π k}{T} i$ なので、実部も等しいことが必要。例えば固有値 $- 1 \pm i$ と $- 2$ の組は実部が違うので、この条件では重ならない。
$λ_{i} - λ_{j} = \frac{2 π k}{T} i$ で $k = 0$ や負の $T$ も数えてしまう、あるいは $k = 1$ だけで止めてしまう誤り。正しくは $T > 0$ と 0 でない整数 $k$ のすべてを考え、例題なら $T = k π$ （ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）が範囲内にあるだけ答えになる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実数値の入力 $u (t)$ をもつ 2 次元の連続時間線形時不変系
$x ˙ (t) = A x (t) + b u (t), A = (0 - 9 10), b = (01)$
を考える。サンプリング周期 $T > 0$ で零次ホールドを用いる、すなわち入力を各区間 $j T \leq t < (j + 1) T$ （ $j = 0, 1, 2, \dots$ ）で一定値 $u_{j}$ とすると、 $x_{j} = x (j T)$ は離散時間系
$x_{j + 1} = Φ x_{j} + Γ u_{j}, Φ = e^{A T}, Γ = \int_{0}^{T} e^{A σ} b d σ$
にしたがう。この離散時間系 $(Φ, Γ)$ が可制御でなくなるような $T > 0$ を小さい方から順に $T_{1} < T_{2} < T_{3} < \dots$ とするとき、 $T_{k}$ （ $k$ は正の整数）を $k$ の式で表せ。

零次ホールド離散化とサンプル値系の可制御性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題