制御理論の問題

1. 連続時間系の性質。 $A$ は可制御標準形（コンパニオン行列）で、特性多項式は
$$\det (sI-A)=s^4+10s^2+9=(s^2+1)(s^2+9)$$
である。よって固有値は $\lambda =\pm i,\pm 3i$ の相異なる 4 つで、$A$ は対角化可能である。

可制御性については、$B=e_4$ から順に計算すると
$$B=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),AB=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),A^{2}B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ -10\end{array}\right),A^{3}B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -10\\ 0\end{array}\right)$$
となる。可制御性行列 $(BAB{A}^{2}B{A}^{3}B)$ は反対角成分がすべて 1 で、反対角より左上の成分がすべて 0 の行列であり、列を逆順 $(A^{3}B{A}^{2}BABB)$ に並べると対角成分が 1 の下三角行列になる。したがって行列式は $\pm 1\ne 0$ で、$(A,B)$ は可制御である。また $C=e_1^{\top }$ に対して $C{A}^k=e_{k+1}^{\top }(k=0,1,2,3)$ だから可観測性行列は単位行列で、$(C,A)$ は可観測である。

各固有値 ${\lambda }_j$ の左固有ベクトルを $w_j$（$w_j^{\top }A={\lambda }_j{w}_j^{\top }$）、右固有ベクトルを $v_j$（$A{v}_j={\lambda }_j{v}_j$）とすると、PBH 判定法より $w_j^{\top }B\ne 0$、$C{v}_j\ne 0$ がすべての $j$ で成り立つ。

2. 離散化した系の固有構造。 $\Phi =e^{Ah}$ は $A$ と同じ固有ベクトルで対角化でき、固有値は ${\mu }_j=e^{{\lambda }_{j}h}$、すなわち
$$e^{ih},e^{-ih},e^{3ih},e^{-3ih}$$
である。また $w_j^{\top }{e}^{A\tau }=e^{{\lambda }_j\tau }{w}_j^{\top }$ より
$$w_j^{\top }\Gamma ={\int }_0^h{w}_j^{\top }{e}^{A\tau }Bd\tau =\left({\int }_0^h{e}^{{\lambda }_j\tau }d\tau \right)w_j^{\top }B=\frac{e^{{\lambda }_{j}h}-1}{{\lambda }_j}{w}_j^{\top }B$$
（${\lambda }_j\ne 0$）。

3. ${\mu }_j$ が相異なる場合。 $\Phi$ の左固有ベクトルは（定数倍を除き）$w_j$、右固有ベクトルは $v_j$ に限られる。PBH 判定法より
- 可制御 $⟺$ すべての $j$ で $w_j^{\top }\Gamma \ne 0⟺$ すべての $j$ で $e^{{\lambda }_{j}h}\ne 1$。
- 可観測 $⟺$ すべての $j$ で $C{v}_j\ne 0$ であり、これは 1. より常に成り立つ。

ここで、ある $j$ で $e^{{\lambda }_{j}h}=1$ ならその共役 $e^{{\bar{\lambda }}_{j}h}=\overline{e^{{\lambda }_{j}h}}=1$ も成り立ち、$\mu$ に重複が生じる。したがって ${\mu }_j$ が相異なるときは自動的に $e^{{\lambda }_{j}h}\ne 1$ で、系は可制御かつ可観測である。

4. ${\mu }_j$ に重複がある場合。 ${\mu }_i={\mu }_j(i\ne j)$ とすると、$\Phi$ は対角化可能なので固有値 ${\mu }_i$ の左固有空間は $w_i,w_j$ を含む 2 次元以上の空間である。その中で 1 つの線形条件 $w^{\top }\Gamma =0$ を満たす $w=\alpha w_i+\beta w_j\ne 0$ がとれるので、PBH 判定法より可制御でない。同様に右固有空間の中で $Cv=0$ となる $v\ne 0$ がとれるので可観測でもない。（入力・出力が 1 つの系では、固有値の幾何的重複度が 2 以上だと可制御にも可観測にもならない。）

5. 重複が起こる $h$。 $e^{{\lambda }_{i}h}=e^{{\lambda }_{j}h}⟺e^{({\lambda }_i-{\lambda }_j)h}=1$ である。差 ${\lambda }_i-{\lambda }_j$ の候補は
- $i-(-i)=2i$、$3i-i=2i$、$-i-(-3i)=2i$：$e^{2ih}=1⟺h=k\pi$
- $3i-(-3i)=6i$：$e^{6ih}=1⟺h=\frac{k\pi }{3}$
- $3i-(-i)=4i$、$i-(-3i)=4i$：$e^{4ih}=1⟺h=\frac{k\pi }{2}$

（$k$ は正の整数）。$h=k\pi$ は $h=\frac{k\pi }{3}$ に含まれるので、条件は $h\in \left\{\frac{k\pi }{3}\right\}\cup \left\{\frac{k\pi }{2}\right\}$ である。

$0<h\le 2\pi$ では $\frac{k\pi }{3}$ が $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3},2\pi$、$\frac{k\pi }{2}$ が $\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$ となる。

よって求める $h$ は
$$h\in \left\{\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{3},2\pi \right\}$$
の 8 個である。

$A$ は companion 行列で、特性多項式は $\det (sI-A)=s^4+10s^2+9=(s^2+1)(s^2+9)$。固有値は $\pm i,\pm 3i$（相異なる）。$B=e_4$、$C=e_1$ なので $(A,B)$ は可制御、$(A,C)$ は可観測である（$C,CA,C{A}^2,C{A}^3=e_1^T,e_2^T,e_3^T,e_4^T$ で階数 4。$B,AB,A^{2}B,A^{3}B$ も階数 4）。

サンプル値系の可制御性・可観測性の保存に関する Kalman–Ho–Narendra の定理（1 入力 1 出力・固有値が相異なる場合）: 元の系が可制御かつ可観測であるとき、サンプル値系が可制御でなくなる（可観測でなくなる）ための必要十分条件は、ある相異なる固有値 ${\lambda }_p,{\lambda }_q$ について ${\lambda }_p-{\lambda }_q=\frac{2\pi ik}{h}$（$k$ は 0 でない整数）が成り立つことである。可制御性と可観測性の条件は同じなので、「可制御でない、または可観測でない」条件もこれと一致する。

固有値の虚部は $\{1,-1,3,-3\}$ なので、相異なる 2 固有値の虚部の差の絶対値は $d\in \{2,4,6\}$。条件は $h=\frac{2\pi k}{d}$（$k$ は正の整数）、$0<h\le 2\pi$。

• $d=2$: $h=\pi k$ より $h=\pi ,2\pi$
• $d=4$: $h=\frac{\pi k}{2}$ より $h=\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$
• $d=6$: $h=\frac{\pi k}{3}$ より $h=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3},2\pi$

和集合をとると $h\in \{\pi /3,\pi /2,2\pi /3,\pi ,4\pi /3,3\pi /2,5\pi /3,2\pi \}$（8 個）。

検算: 例えば $h=2\pi /3$ では $e^{3ih}=1$ なので、モード $3i$ について $\Gamma$ の成分 ${\int }_0^h{e}^{3i\tau }d\tau =0$ となり不可制御。$h=\pi /2$ では $e^{ih}=i$, $e^{3ih}=-i$, $e^{-ih}=-i$, $e^{-3ih}=i$ より $e^{3ih}=e^{-ih}$ で、固有値 $3i$ と $-i$ が重なり可制御性が失われる。これらは上の条件と整合する。