制御理論の問題

可制御性

$b=(0,0,1{)}^{\mathsf{T}}$, $Ab=(0,1,2{)}^{\mathsf{T}}$, $A^{2}b=A(0,1,2{)}^{\mathsf{T}}=(1,1,4{)}^{\mathsf{T}}$ であり、
$$\det \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 4\end{array}\right)=-1\ne 0$$
なので系は可制御である。1 入力の可制御な系では、指定した極を実現するゲイン $k$ はただ 1 つに定まる。

閉ループ特性多項式

$bk$ は第 3 行だけが $(k_1,k_2,k_3)$ の行列なので
$$sI-A+bk=\left(\begin{array}{ccc}s-1& -1& 0\\ 0& s+1& -1\\ k_1& k_2& s-2+k_3\end{array}\right)$$
第 1 行で余因子展開すると
$$\det (sI-A+bk)=(s-1)[(s+1)(s-2+k_3)+k_2]+k_1$$
ここで $(s+1)(s-2+k_3)+k_2=s^2+(k_3-1)s+(k_3+k_2-2)$ なので
$$\det (sI-A+bk)=s^3+(k_3-2)s^2+(k_2-1)s+(k_1-k_2-k_3+2)$$
（$k=0$ とすると開ループの $(s-1)(s+1)(s-2)=s^3-2s^2-s+2$ に一致する。）

ゲインの決定

望みの特性多項式は
$$(s+2)((s+1{)}^2+1)=(s+2)(s^2+2s+2)=s^3+4s^2+6s+4$$
係数を比べて
$$k_3-2=4,k_2-1=6,k_1-k_2-k_3+2=4$$
より $k_3=6$, $k_2=7$, $k_1=15$ である。よって
$$A_c=A-bk=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ -15& -7& -4\end{array}\right)$$

積分の計算

$A_c$ の固有値の実部はすべて負なので $x(t)=e^{A_{c}t}x(0)\to 0$（指数的に減衰）であり、$z={\int }_0^{\infty }x(t)dt$ は収束する。$\dot{x}=A_{c}x$ を $0$ から $\infty$ まで積分すると
$$x(\infty )-x(0)=A_{c}z⟹A_{c}z=-x(0)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
$\det A_c=-\det (0\cdot I-A_c)=-4\ne 0$ なので $z$ は一意に定まる。成分で書くと
$$z_1+z_2=-1,-z_2+z_3=0,-15z_1-7z_2-4z_3=0$$
2 番目から $z_3=z_2$、3 番目に代入して $-15z_1-11z_2=0$。1 番目から $z_1=-1-z_2$ を代入すると
$$15+15z_2-11z_2=0⟹z_2=-\frac{15}{4},z_1=-1+\frac{15}{4}=\frac{11}{4}$$
したがって
$${\int }_0^{\infty }{x}_1(t)dt=\frac{11}{4}$$

閉ループ行列は $A-bk=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ -k_1& -k_2& 2-k_3\end{array}\right)$。特性多項式は $\det (sI-(A-bk))=(s-1)\{(s+1)(s-2+k_3)+k_2\}+k_1=s^3+(k_3-2)s^2+(k_2-1)s+(k_1-k_2-k_3+2)$。目標の特性多項式は $(s+2)(s^2+2s+2)=s^3+4s^2+6s+4$。係数比較より $k_3=6,k_2=7,k_1-11=4$ より $k_1=15$。よって $A_{cl}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ -15& -7& -4\end{array}\right)$。極はすべて左半平面にあるので $x(t)\to 0$ で、${\int }_0^{\infty }\dot{x}dt=-x(0)$ より $A_{cl}{\int }_0^{\infty }xdt=-x(0)$。$y={\int }_0^{\infty }xdt$ とおくと $y_1+y_2=-1,-y_2+y_3=0,-15y_1-7y_2-4y_3=0$。$y_3=y_2$ より $-15y_1-11y_2=0$、$y_2=-\frac{15}{11}{y}_1$。第1式に代入して $-\frac{4}{11}{y}_1=-1$、$y_1=\frac{11}{4}$。検算: $y_2=y_3=-\frac{15}{4}$、$y_1+y_2=-1$、$-15\cdot \frac{11}{4}+\frac{105}{4}+\frac{60}{4}=\frac{-165+165}{4}=0$ で成り立つ。