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制御理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学制御理論

状態 $x (t) \in R^{3}$ 、入力 $u (t) \in R$ をもつ線形時不変系
$x ˙ (t) = A x (t) + b u (t), A = 00 - 2 101012, b = 013$
に、状態フィードバック $u (t) = - K x (t)$ （ $K = (k_{1}, k_{2}, k_{3})$ は実数を成分とする $1 \times 3$ 行ベクトル）を施す。閉ループ行列 $A - b K$ の固有値が重複度も込めてちょうど $- 1, - 2, - 3$ となるような $K$ 全体の集合を $K$ とする。

$K$ に属する $K$ について、 $∥ K ∥^{2} = k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2}$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

極配置による状態フィードバック（説明と入口の問題）
可制御性と可観測性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $(A, b)$ が可制御かどうかを調べよ。不可制御なら、極配置を実現するゲインは一意に決まらず、ある直線（アフィン集合）をなす。

ヒント 2

$det (s I - A + b K) = det (s I - A) + K adj (s I - A) b$ を使う。 $adj (s I - A) b$ の各成分が共通因子 $(s + 1)$ をもつことを確かめよ。

ヒント 3

閉ループ特性多項式は $(s + 1) [s^{2} + (k_{2} + 3 k_{3} - 3) s + (k_{1} - 2 k_{3} + 2)]$ となる。これを $(s + 1) (s + 2) (s + 3)$ と比べると $K = (4 + 2 t, 8 - 3 t, t)$ が得られる。あとは $t$ の 2 次関数を最小化せよ。

答えと解説

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\frac{432}{7}

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解説を読む

1. 開ループ特性多項式 $A$ は最下行に係数が並ぶコンパニオン形なので
$a (s) = det (s I - A) = s^{3} - 2 s^{2} - s + 2 = (s + 1) (s - 1) (s - 2) .$

2. 閉ループ特性多項式 行列式の補題 $det (M + b K) = det M + K adj (M) b$ を $M = s I - A$ に用いると
$det (s I - A + b K) = a (s) + K adj (s I - A) b .$
$v (s) = adj (s I - A) b = a (s) (s I - A)^{- 1} b$ を求める。 $(s I - A) x = b$ は
$s x_{1} - x_{2} = 0, s x_{2} - x_{3} = 1, 2 x_{1} - x_{2} + (s - 2) x_{3} = 3.$
$x_{2} = s x_{1}, x_{3} = s^{2} x_{1} - 1$ を第 3 式に代入すると
$(s^{3} - 2 s^{2} - s + 2) x_{1} - (s - 2) = 3$
より $a (s) x_{1} = s + 1$ である。よって
$v (s) = s + 1 s (s + 1) s^{2} (s + 1) - a (s) = (s + 1) 1 s 3 s - 2 .$
ここで $s^{3} + s^{2} - a (s) = 3 s^{2} + s - 2 = (3 s - 2) (s + 1)$ を用いた。したがって
$det (s I - A + b K) = (s + 1) [(s - 1) (s - 2) + k_{1} + k_{2} s + k_{3} (3 s - 2)]$
$= (s + 1) [s^{2} + (k_{2} + 3 k_{3} - 3) s + (k_{1} - 2 k_{3} + 2)] .$
どのような $K$ を選んでも固有値 $- 1$ は動かない。これは不可制御モードである。実際、 $w = (2, - 3, 1)$ は $w A = - w$ かつ $w b = 0$ を満たす。可制御部分空間 $ker w$ は 2 次元で、 $b$ と $A b = (1, 3, 7)^{T}$ が張る。

3. 集合 $K$ 目標は $(s + 1) (s + 2) (s + 3) = (s + 1) (s^{2} + 5 s + 6)$ である。係数を比較して
$k_{2} + 3 k_{3} = 8, k_{1} - 2 k_{3} = 4.$
これは 1 次元の直線になり、 $k_{3} = t$ とおくと
$K = (4 + 2 t, 8 - 3 t, t) (t \in R) .$
方向ベクトルは $w = (2, - 3, 1)$ に一致する。

4. 最小化
$∥ K ∥^{2} = (4 + 2 t)^{2} + (8 - 3 t)^{2} + t^{2} = 14 t^{2} - 32 t + 80 = 14 (t - \frac{8}{7})^{2} + \frac{432}{7} .$
よって最小値は $t = \frac{8}{7}$ のときの $\frac{432}{7}$ である。このとき $K = (\frac{44}{7}, \frac{32}{7}, \frac{8}{7})$ であり、 $K w^{T} = \frac{88 - 96 + 8}{7} = 0$ なので、確かに $w$ と直交している。

別解

閉ループ行列は $A - b K = 0 - k_{1} - 2 - 3 k_{1} 1 - k_{2} 1 - 3 k_{2} 0 1 - k_{3} 2 - 3 k_{3}$ である。

特性多項式 $det (s I - (A - b K))$ を第1行で展開して計算すると
$s^{3} + (k_{2} + 3 k_{3} - 2) s^{2} + (k_{1} + k_{2} + k_{3} - 1) s + (k_{1} - 2 k_{3} + 2)$ となる。

目標は $(s + 1) (s + 2) (s + 3) = s^{3} + 6 s^{2} + 11 s + 6$ なので、係数を比較して
- $k_{2} + 3 k_{3} = 8$
- $k_{1} + k_{2} + k_{3} = 12$
- $k_{1} - 2 k_{3} = 4$

$k_{3} = t$ とおくと、 $k_{1} = 4 + 2 t$ 、 $k_{2} = 8 - 3 t$ 。これを第2式に代入すると $4 + 2 t + 8 - 3 t + t = 12$ となり、 $t$ によらず成り立つ。したがって $K$ は $t$ を実数全体で動かす1パラメータの族である（ $(A, b)$ が可制御でないため）。

$∥ K ∥^{2} = (4 + 2 t)^{2} + (8 - 3 t)^{2} + t^{2} = 14 t^{2} - 32 t + 80$ 。

$t = 8/7$ で最小となり、最小値は $80 - \frac{3 2 ^{2}}{4 \cdot 14} = 80 - \frac{128}{7} = \frac{432}{7}$ 。

検算: $t = 8/7$ のとき $K = (44/7, 32/7, 8/7)$ 。 $∥ K ∥^{2} = (1936 + 1024 + 64) /49 = 3024/49 = 432/7$ で一致する。

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