制御理論の問題

可制御性の確認. $b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, $Ab=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, $A^{2}b=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ より可制御行列の行列式は
$$\det \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right)=-1\ne 0$$
なので系は可制御であり、1 入力系なので固有値を指定すればゲイン $K$ は一意に定まる。

ゲインの決定.
$$A-bK=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ -k_1& -k_2& 2-k_3\end{array}\right)$$
の特性多項式を第 1 行で余因子展開すると
$$\det (zI-(A-bK))=(z-1)\{(z-1)(z-2+k_3)+k_2\}+k_1$$
$$=z^3+(k_3-4)z^2+(5-2k_3+k_2)z+(k_3-2-k_2+k_1).$$
すべての固有値を $0$ にするには、これが $z^3$ に一致すればよいので
$$k_3-4=0,5-2k_3+k_2=0,k_3-2-k_2+k_1=0.$$
よって $k_3=4$, $k_2=3$, $k_1=1$、すなわち $K=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\end{array}\right)$ である。

応答の計算. $A-bK=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ -1& -3& -2\end{array}\right)$ であり、$u[k]=-Kx[k]=-(x_1+3x_2+4x_3)$ である。
- $k=0$: $x[0]=(1,0,0{)}^{\top }$, $u[0]=-1$
- $x[1]=(A-bK)x[0]=(1,0,-1{)}^{\top }$, $u[1]=-(1+0-4)=3$
- $x[2]=(A-bK)x[1]=(1,-1,1{)}^{\top }$, $u[2]=-(1-3+4)=-2$
- $x[3]=(A-bK)x[2]=(0,0,0{)}^{\top }$

（$A-bK$ の固有値がすべて $0$ なので、ケーリー・ハミルトンの定理より $(A-bK{)}^3=O$ となり、どんな初期状態でも $x[3]=0$ になる。）したがって $k\ge 3$ では $x[k]=0$, $u[k]=0$ である。

ゆえに
$$J=(-1{)}^2+3^2+(-2{)}^2=1+9+4=14.$$

$A-bK=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ -k_1& -k_2& 2-k_3\end{array}\right)$。特性多項式は $\det (sI-(A-bK))=(s-1)\{(s-1)(s-2+k_3)+k_2\}+k_1$。$c=k_3-2$ とおくと $=s^3+(c-2)s^2+(k_2-2c+1)s+(c-k_2+k_1)$。これが $s^3$ に等しい条件: $c=2,k_2=2c-1=3,k_1=k_2-c=1$。よって $k_3=4$、$K=(1,3,4)$（一意）。\n閉ループ行列 $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ -1& -3& -2\end{array}\right)$。\n$x[0]=(1,0,0{)}^T$: $u[0]=-Kx[0]=-1$、$x[1]=Mx[0]=(1,0,-1{)}^T$。\n$u[1]=-(1\cdot 1+0+4\cdot (-1))=3$、$x[2]=Mx[1]=(1,-1,1{)}^T$。\n$u[2]=-(1-3+4)=-2$、$x[3]=Mx[2]=(0,0,-1+3-2{)}^T=(0,0,0{)}^T$。\n以降は $x[k]=0$, $u[k]=0$。したがって $J=(-1{)}^2+3^2+(-2{)}^2=1+9+4=14$。\n検算: $M^3=0$ を確認済み（$x[3]=0$ となった）。別に $x[1]=Ax[0]+bu[0]=(1,0,0)+(0,0,-1)=(1,0,-1)$ とも一致。