制御理論の問題

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Fx(t)$（$F=\left(\begin{array}{cc}{f}_1& f_2\end{array}\right)$、$f_1,f_2$ は実数）を施す。閉ループ系の行列 $A-BF$ の固有値が $-2+j,-2-j$（$j$ は虚数単位）となるように $F$ を定める。このとき、初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ に対する時刻 $t=0$ での入力の値 $u(0)$ を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$, $K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$（$k_1,k_2$ は実数）を施す。閉ループ系 $\dot{x}=(A-BK)x$ の固有値がちょうど $-2$ と $-4$ になるように $K$ を定める。このとき、状態が $x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ である時刻に加えられる入力 $u$ の値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$（$K=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする $1\times 3$ 行ベクトル）を施す。閉ループ行列 $A-bK$ の固有値が重複度も込めてちょうど $-1,-2,-3$ となるような $K$ 全体の集合を $\mathcal{K}$ とする。

$\mathcal{K}$ に属する $K$ について、$\Vert K{\Vert }^2=k_1^2+k_2^2+k_3^2$ の最小値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-kx(t)$ を施す。ここで $k=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする行ベクトルであり、閉ループ系 $\dot{x}=(A-bk)x$ の極（$A-bk$ の固有値）が $-2,-1+i,-1-i$ となるように定める（$i$ は虚数単位）。

この閉ループ系を初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ から動かしたとき、
$${\int }_0^{\infty }{x}_1(t)dt$$
の値を求めよ。

状態 $x[k]\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u[k]\in \mathbb{R}$ をもつ離散時間線形時不変系
$$x[k+1]=Ax[k]+bu[k](k=0,1,2,\dots ),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u[k]=-Kx[k]$（$K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$, $k_1,k_2$ は実数）を施す。$A-bK$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定め、初期状態を $x[0]=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ とする。このとき $\sum _{k=0}^{\infty }u[k{]}^2$ の値を求めよ。