制御理論の問題

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Fx(t)$（$F=\left(\begin{array}{cc}{f}_1& f_2\end{array}\right)$、$f_1,f_2$ は実数）を施す。閉ループ系の行列 $A-BF$ の固有値が $-2+j,-2-j$（$j$ は虚数単位）となるように $F$ を定める。このとき、初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ に対する時刻 $t=0$ での入力の値 $u(0)$ を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
を考える。状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$（$K=\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& k_2& k_3\end{array}\right)$ は実数を成分とする $1\times 3$ 行列）を施した閉ループ系 $\dot{x}=(A-bK)x$ の固有値が $-2,-3,-4$ となるように $K$ を定める（このような $K$ はただ 1 つ存在する）。

初期状態が $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ のとき、時刻 $t=0$ における入力の値 $u(0)$ を求めよ。

状態 $x[k]\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u[k]\in \mathbb{R}$ をもつ離散時間線形時不変系
$$x[k+1]=Ax[k]+bu[k](k=0,1,2,\dots ),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u[k]=-Kx[k]$（$K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$, $k_1,k_2$ は実数）を施す。$A-bK$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定め、初期状態を $x[0]=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ とする。このとき $\sum _{k=0}^{\infty }u[k{]}^2$ の値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,$$
$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$$
に、状態フィードバックと目標値 $r$（実数の定数）を用いた制御則
$$u=-Kx+Nr,K=\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)$$
を施す。ここで $N$ は実数の定数（前置ゲイン）である。閉ループ系は漸近安定である。任意の初期状態と任意の定数 $r$ に対して $\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=r$ となるような $N$ の値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$（$K=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする $1\times 3$ 行ベクトル）を施す。閉ループ行列 $A-bK$ の固有値が重複度も込めてちょうど $-1,-2,-3$ となるような $K$ 全体の集合を $\mathcal{K}$ とする。

$\mathcal{K}$ に属する $K$ について、$\Vert K{\Vert }^2=k_1^2+k_2^2+k_3^2$ の最小値を求めよ。