制御理論の問題

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$$
に、目標値 $r$（実数の定数）を用いた制御則
$$u=-Kx+Nr(K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)\text{ は実数を成分とする }1\times 2\text{ 行列},N\text{ は実数})$$
を施す。$K$ は閉ループ系の行列 $A-BK$ の固有値が $-2,-3$ となるように定め、$N$ は任意の定数 $r$ に対して閉ループ系の出力が $\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=r$ をみたすように定める。このときの $N$ の値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$, $K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$（$k_1,k_2$ は実数）を施す。閉ループ系 $\dot{x}=(A-BK)x$ の固有値がちょうど $-2$ と $-4$ になるように $K$ を定める。このとき、状態が $x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ である時刻に加えられる入力 $u$ の値を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Fx(t)$（$F=\left(\begin{array}{cc}{f}_1& f_2\end{array}\right)$、$f_1,f_2$ は実数）を施す。閉ループ系の行列 $A-BF$ の固有値が $-2+j,-2-j$（$j$ は虚数単位）となるように $F$ を定める。このとき、初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ に対する時刻 $t=0$ での入力の値 $u(0)$ を求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$$
を考える。可制御性行列 $U_c=\left(\begin{array}{ccc}B& AB& A^{2}B\end{array}\right)$ の階数を $r_c$、可観測性行列 $U_o=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\end{array}\right)$ の階数を $r_o$ とする。組 $(r_c,r_o)$ をこの順に求めよ。

状態 $x[k]\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u[k]\in \mathbb{R}$ をもつ離散時間線形時不変系
$$x[k+1]=Ax[k]+bu[k](k=0,1,2,\dots ),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u[k]=-Kx[k]$（$K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$, $k_1,k_2$ は実数）を施す。$A-bK$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定め、初期状態を $x[0]=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ とする。このとき $\sum _{k=0}^{\infty }u[k{]}^2$ の値を求めよ。