目標値追従の前置ゲイン

制御則 $u = - K x + N r$ で出力の定常値が $r$ になるように、閉ループの直流ゲイン $- C (A - B K)^{- 1} B$ から $N = \frac{1}{- C ( A - B K ) ^{- 1} B}$ を求められる

前提

極配置による状態フィードバック（大学院数学制御理論）
ステップ応答と最終値（大学院数学制御理論）

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算数中学高校大学大学院

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ステップ応答と最終値（大学院数学制御理論）

説明

極配置で状態フィードバック $u = - K x$ を決めると応答の速さや減衰は思いどおりになりますが、目標値 $r$ を入れても出力 $y$ が $r$ に落ち着くとは限りません。そこで制御則を $u = - K x + N r$ とし、目標値に掛ける前置ゲイン（スカラー） $N$ を、出力の定常値がちょうど $r$ になるように選びます。 $N$ は閉ループ系の直流ゲイン（ $s = 0$ での伝達関数の値）の逆数として求まります。

なぜそうしてよいのか

$u = - K x + N r$ を $x ˙ = A x + B u, y = C x$ に代入すると、閉ループ系は
$x ˙ = (A - B K) x + B N r, y = C x$
となります。 $K$ は $A - B K$ の固有値の実部がすべて負になるように選んであるので、 $r$ を一定値にすると状態 $x (t)$ はある一定値 $x_{ss}$ に収束し、そこでは $x ˙ = 0$ です。また、固有値に $0$ がないので $A - B K$ は逆行列をもちます。したがって
$0 = (A - B K) x_{ss} + B N r ⟹ x_{ss} = - (A - B K)^{- 1} B N r,$
$y_{ss} = C x_{ss} = (- C (A - B K)^{- 1} B) N r .$

同じことは伝達関数でも確かめられます。 $r$ から $y$ への伝達関数は $G_{cl} (s) = C (s I - A + B K)^{- 1} B N$ で、ステップ応答の最終値は $G_{cl} (0) = - C (A - B K)^{- 1} B N$ です。どちらでも、スカラー $g = - C (A - B K)^{- 1} B$ （ $N = 1$ のときの閉ループ直流ゲイン）を使って $y_{ss} = g N r$ と書けます。

$y_{ss} = r$ がすべての $r$ で成り立つには $g N = 1$ 、すなわち $N = 1/ g$ とすればよいわけです。ただしこれは $g \neq = 0$ のとき（閉ループ伝達関数が $s = 0$ に零点をもたないとき）に限ります。状態フィードバックでは零点は動かないので、 $g = 0$ ならどんな $N$ でも追従できません。

手順

与えられた（または極配置で求めた） $K$ で閉ループ行列 $A_{cl} = A - B K$ を計算し、その固有値の実部がすべて負であることを確かめる
$A_{cl}^{- 1} B$ を求める（連立 1 次方程式 $A_{cl} v = B$ を解いて $v$ を求めてもよい）
閉ループ直流ゲイン $g = - C A_{cl}^{- 1} B = - C v$ を計算する（符号のマイナスを忘れない）
$g \neq = 0$ を確かめ、前置ゲインを $N = \frac{1}{g} = \frac{1}{- C ( A - B K ) ^{- 1} B}$ とする
検算として、 $G_{cl} (s) = C (s I - A + B K)^{- 1} B N$ の $s = 0$ での値が $1$ になることを確かめる

例題

系 $x ˙ = A x + B u, y = C x$ において
$A = (0 - 2 1 - 3), B = (01), C = (21)$
とし、制御則 $u = - K x + N r$ 、 $K = (42)$ を用いる。一定の目標値 $r$ に対して出力の定常値が $r$ に一致するような前置ゲイン $N$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $B K = (0402)$ より
$A_{cl} = A - B K = (0 - 6 1 - 5) .$
特性多項式は $det (s I - A_{cl}) = s (s + 5) + 6 = s^{2} + 5 s + 6 = (s + 2) (s + 3)$ で、固有値 $- 2, - 3$ はともに負。よって閉ループ系は安定で、 $A_{cl}$ は逆行列をもつ。

【手順 2】 $det A_{cl} = 0 \cdot (- 5) - 1 \cdot (- 6) = 6$ より
$A_{cl}^{- 1} = \frac{1}{6} (- 5 6 - 1 0), A_{cl}^{- 1} B = \frac{1}{6} (- 1 0) .$

【手順 3】
$g = - C A_{cl}^{- 1} B = - (21) \frac{1}{6} (- 1 0) = - \frac{- 2}{6} = \frac{1}{3} .$

【手順 4】 $g \neq = 0$ なので $N = \frac{1}{g} = 3$ 。

【手順 5】検算: $(s I - A_{cl})^{- 1} B = \frac{1}{s ^{2} + 5 s + 6} (1 s)$ より $G_{cl} (s) = \frac{3 ( s + 2 )}{s ^{2} + 5 s + 6}$ で、 $G_{cl} (0) = \frac{6}{6} = 1$ 。確かに出力の定常値は $r$ になる。

答え: $3$

よくある誤り

開ループの $A$ をそのまま使い $N = \frac{1}{- C A ^{- 1} B}$ としてしまう誤り。定常状態を決めるのはフィードバック後の系なので、正しくは $A - B K$ を使い $N = \frac{1}{- C ( A - B K ) ^{- 1} B}$ 。例題では $- C A^{- 1} B = 1$ から $N = 1$ としてしまうが、正しくは $N = 3$
マイナス符号を落として $N = \frac{1}{C ( A - B K ) ^{- 1} B}$ としてしまう誤り。定常状態の式 $0 = (A - B K) x_{ss} + B N r$ から $x_{ss} = - (A - B K)^{- 1} B N r$ となるので、例題では $C (A - B K)^{- 1} B = - \frac{1}{3}$ であり、正しくは $N = \frac{1}{- ( - 1/3 )} = 3$ （ $- 3$ ではない）
直流ゲインそのものを $N$ にしてしまう誤り。 $y_{ss} = g N r$ を $r$ にしたいので $N = 1/ g$ である。例題で $N = g = \frac{1}{3}$ とすると $y_{ss} = \frac{1}{9} r$ になってしまう
閉ループ行列を $A + B K$ としてしまう誤り。 $u = - K x + N r$ を代入すると $x ˙ = A x + B (- K x + N r) = (A - B K) x + B N r$ なので、正しくは $A - B K$ 。また、 $A - B K$ が安定でなければ定常値自体が存在しないので、この公式は使えない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
状態 $x (t) \in R^{2}$ 、入力 $u (t) \in R$ 、出力 $y (t) \in R$ をもつ線形時不変系
$x ˙ = A x + B u, y = C x,$
$A = (- 1 0 1 - 2), B = (01), C = (10)$
に、状態フィードバックと目標値 $r$ （実数の定数）を用いた制御則
$u = - K x + N r, K = (13)$
を施す。ここで $N$ は実数の定数（前置ゲイン）である。閉ループ系は漸近安定である。任意の初期状態と任意の定数 $r$ に対して $t \to \infty lim y (t) = r$ となるような $N$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
状態 $x (t) \in R^{2}$ 、入力 $u (t) \in R$ 、出力 $y (t) \in R$ をもつ線形時不変系
$x ˙ = A x + B u, y = C x, A = (10 2 - 1), B = (11), C = (10)$
に、目標値 $r$ （実数の定数）を用いた制御則
$u = - K x + N r (K = (k_{1} k_{2}) は実数を成分とする 1 \times 2 行列, N は実数)$
を施す。 $K$ は閉ループ系の行列 $A - B K$ の固有値が $- 2, - 3$ となるように定め、 $N$ は任意の定数 $r$ に対して閉ループ系の出力が $t \to \infty lim y (t) = r$ をみたすように定める。このときの $N$ の値を求めよ。