極配置による状態フィードバック

可制御な系に対し、 $det (s I - A + B K)$ の係数を目標の特性多項式と比べて（またはアッカーマンの公式で）閉ループ固有値を指定値にするゲイン $K$ の成分を求められる

前提

可制御性と可観測性（大学院数学制御理論）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

説明

線形系 $x ˙ = A x + B u$ に状態フィードバック $u = - K x$ を施すと、閉ループ系は $x ˙ = (A - B K) x$ となり、その振る舞い（安定か、どれくらい速く収束するか、振動するか）は $A - B K$ の固有値で決まります。この技能では、系が可制御であることを確かめたうえで、 $det (s I - A + B K)$ の係数を目標の特性多項式の係数と比べ、閉ループ固有値をあらかじめ指定した値にするゲイン $K$ を求めます。不安定な系を安定化したり、応答の速さを設計したりするときの基本的な方法です。

なぜそうしてよいのか

係数比較でゲインが決まる理由. 入力が 1 本（ $B = b$ が列ベクトル、 $K = (k_{1} \dots k_{n})$ が行ベクトル）の場合を考えます。 $A - b K$ は $A$ の各行から $b$ の成分倍の $K$ を引いたもので、 $det (s I - A + b K)$ を展開すると、 $s$ について最高次の係数が 1 の $n$ 次多項式で、各係数は $k_{1}, \dots, k_{n}$ の 1 次式（定数項を含む）になります（ $b K$ は階数 1 なので、行列式の展開で $K$ の成分どうしの積は打ち消し合います）。目標の固有値 $p_{1}, \dots, p_{n}$ から作った多項式 $(s - p_{1}) \dots (s - p_{n}) = s^{n} + α_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + α_{0}$ と係数を比べると、未知数 $n$ 個に対して 1 次方程式が $n$ 本得られます。系が可制御ならこの連立 1 次方程式はただ 1 つの解をもつことが知られており、それが求めるゲインです。

可制御性が必要な理由. 可制御でないとき、可制御性行列 $(b A b \dots A^{n - 1} b)$ の階数は $n$ 未満で、そのすべての列と直交する行ベクトル $w \neq = 0$ がとれます。さらに、 $w A = λ w$ かつ $w b = 0$ を満たす $w \neq = 0$ （ $A$ の左固有ベクトル）がとれることが示せます。すると、どんな $K$ に対しても $w (A - b K) = λ w - (w b) K = λ w$ なので、 $λ$ は $A - b K$ の固有値のまま動きません。つまり入力の届かないモードの固有値はフィードバックで変えられず、好きな位置に配置することはできません。

目標多項式は実係数にする. $A, b, K$ が実なら $det (s I - A + b K)$ は実係数なので、複素数の目標固有値は共役な組 $- a \pm β i$ で指定します。 $(s + a - β i) (s + a + β i) = s^{2} + 2 a s + a^{2} + β^{2}$ のように実係数の多項式にまとめてから比較します。

手順

可制御性行列 $(b A b \dots A^{n - 1} b)$ の階数が $n$ （2 次なら行列式が 0 でない）ことを確かめる。
$K = (k_{1} \dots k_{n})$ とおき、 $A - b K$ を書き出して $det (s I - A + b K)$ を $s$ の多項式として展開する。
目標の固有値 $p_{1}, \dots, p_{n}$ から $(s - p_{1}) \dots (s - p_{n})$ を展開する（複素数の固有値は共役な組でまとめる）。
2 つの多項式の $s^{n - 1}, \dots, s^{0}$ の係数を等しいとおき、連立 1 次方程式を解いて $k_{1}, \dots, k_{n}$ を求める。
検算として、求めた $K$ で $A - b K$ の特性多項式を計算し直し、目標と一致するか確かめる。

例題

$A = (1012)$ , $b = (01)$ の系 $x ˙ = A x + b u$ に状態フィードバック $u = - K x$ , $K = (k_{1} k_{2})$ を施す。閉ループ系の行列 $A - b K$ の固有値が $- 2 \pm i$ となるような $(k_{1}, k_{2})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（可制御性）. $A b = (12)$ より $det (b A b) = det (0112) = - 1 \neq = 0$ 。よって可制御で、極配置ができる。（ $A$ の固有値は $1, 2$ でどちらも正なので、もとの系は不安定。）

手順 2（閉ループの特性多項式）. $b K = (0 k_{1} 0 k_{2})$ より $A - b K = (1 - k_{1} 1 2 - k_{2})$ 。
$det (s I - A + b K) = det (s - 1 k_{1} - 1 s - 2 + k_{2}) = (s - 1) (s - 2 + k_{2}) + k_{1} = s^{2} + (k_{2} - 3) s + (2 - k_{2} + k_{1}) .$

手順 3（目標多項式）. $(s + 2 - i) (s + 2 + i) = (s + 2)^{2} + 1 = s^{2} + 4 s + 5$ 。

手順 4（係数比較）. $s$ の係数: $k_{2} - 3 = 4$ より $k_{2} = 7$ 。定数項: $2 - k_{2} + k_{1} = 5$ より $k_{1} = 5 + 7 - 2 = 10$ 。

手順 5（検算）. $A - b K = (1 - 10 1 - 5)$ の特性多項式は $(s - 1) (s + 5) + 10 = s^{2} + 4 s + 5$ で、固有値は $- 2 \pm i$ 。目標どおりである。

よって $(k_{1}, k_{2}) = (10, 7)$ 。

答え: $(10, 7)$

よくある誤り

フィードバックの符号を取り違え、 $u = - K x$ なのに閉ループ行列を $A + b K$ としてしまう誤り。正しくは $A - b K$ で、特性多項式は $det (s I - A + b K)$ 。例題で $A + b K$ を使うと $(k_{1}, k_{2}) = (- 10, - 7)$ という符号の逆な答えになる。
目標固有値 $p$ から多項式を作るとき $(s + p)$ と書いてしまう誤り。正しくは $(s - p)$ で、固有値 $- 2 \pm i$ なら $(s - (- 2 + i)) (s - (- 2 - i)) = s^{2} + 4 s + 5$ であり、 $s^{2} - 4 s + 5$ ではない。
可制御性を確かめずに係数比較を始めてしまう誤り。正しくは先に可制御性行列の階数を調べる。例えば $A = (1002)$ , $b = (01)$ では $det (s I - A + b K) = (s - 1) (s - 2 + k_{2})$ となり、固有値 $1$ はどんな $K$ でも動かせない。
複素数の目標固有値を 1 つだけ（例えば $- 2 + i$ だけ）指定したり、共役でない組を指定したりしてしまう誤り。正しくは、実のゲイン $K$ では閉ループの特性多項式が実係数なので、複素固有値は $- 2 \pm i$ のように必ず共役な組で指定する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
状態 $x (t) = (x_{1} (t) x_{2} (t)) \in R^{2}$ 、入力 $u (t) \in R$ をもつ連続時間線形時不変系
$x ˙ (t) = A x (t) + B u (t), A = (03 1 - 2), B = (01)$
に、状態フィードバック $u (t) = - K x (t)$ , $K = (k_{1} k_{2})$ （ $k_{1}, k_{2}$ は実数）を施す。閉ループ系 $x ˙ = (A - B K) x$ の固有値がちょうど $- 2$ と $- 4$ になるように $K$ を定める。このとき、状態が $x = (1 - 1)$ である時刻に加えられる入力 $u$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

目標値追従の前置ゲイン（大学院数学制御理論）
離散時間系のデッドビート制御（大学院数学制御理論）