制御理論の問題

可制御性. 可制御性行列は
$$\left(\begin{array}{cc}B& AB\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -1\end{array}\right),AB=\left(\begin{array}{c}1+2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$
で、行列式は $-1-3=-4\ne 0$。よって $(A,B)$ は可制御であり、極配置定理により固有値を任意に指定する $K$ がただ 1 つ存在する（1 入力系なので一意）。

$K$ の決定.
$$A-BK=\left(\begin{array}{cc}1-k_1& 2-k_2\\ -k_1& -1-k_2\end{array}\right).$$
固有値を $-2,-3$ にするには特性多項式が $(s+2)(s+3)=s^2+5s+6$ であればよく、2 次正方行列では $\mathrm{tr}=-5$, $\det =6$ が条件である。
$$\mathrm{tr}(A-BK)=(1-k_1)+(-1-k_2)=-k_1-k_2=-5,$$
$$\det (A-BK)=(1-k_1)(-1-k_2)-(2-k_2)(-k_1)=-1-k_2+k_1+k_1{k}_2+2k_1-k_1{k}_2=3k_1-k_2-1=6.$$
よって $k_1+k_2=5,3k_1-k_2=7$ を解いて $k_1=3,k_2=2$。このとき
$$A-BK=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ -3& -3\end{array}\right)$$
で、下三角行列なので固有値は確かに $-2,-3$ である。

$N$ の決定. 閉ループ系は $\dot{x}=(A-BK)x+BNr$。$A-BK$ の固有値はすべて負なので閉ループ系は漸近安定であり、定数 $r$ に対し $x(t)$ は平衡点 $x_{\infty }$ に収束する。$x_{\infty }$ は $0=(A-BK)x_{\infty }+BNr$ をみたすので
$$x_{\infty }=-(A-BK{)}^{-1}BNr,\underset{t\to \infty }{\lim }y(t)=C{x}_{\infty }=(-C(A-BK{)}^{-1}B)Nr.$$
ここで
$$-(A-BK)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 3\end{array}\right),(-(A-BK){)}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -3& 2\end{array}\right)$$
なので
$$-(A-BK{)}^{-1}B=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}3\\ -3+2\end{array}\right)=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right),-C(A-BK{)}^{-1}B=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$
したがって ${\lim }_{t\to \infty }y(t)=\frac{1}{2}Nr$ であり、これが任意の $r$ について $r$ に等しくなる条件は $\frac{1}{2}N=1$、すなわち $N=2$ である。

（検算：閉ループ伝達関数 $C(sI-A+BK{)}^{-1}BN$ の $s=0$ での値が $1$ になることと同じ条件である。）

$A-BK=\left(\begin{array}{cc}1-k_1& 2-k_2\\ -k_1& -1-k_2\end{array}\right)$。固有値が $-2,-3$ なので、トレース $=-5$、行列式 $=6$。

トレース: $(1-k_1)+(-1-k_2)=-k_1-k_2=-5$ より $k_1+k_2=5$。
行列式: $(1-k_1)(-1-k_2)-(2-k_2)(-k_1)=-1-k_2+k_1+k_1{k}_2+2k_1-k_1{k}_2=3k_1-k_2-1=6$ より $3k_1-k_2=7$。
連立して $k_1=3,k_2=2$。

このとき $A_c=A-BK=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ -3& -3\end{array}\right)$（固有値 $-2,-3$ で安定）。定常状態は $\dot{x}=0$ より $x_{\infty }=-A_c^{-1}BNr$。$-A_c=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 3\end{array}\right)$、$(-A_c{)}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -3& 2\end{array}\right)$。よって $(-A_c{)}^{-1}B=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$、$C(-A_c{)}^{-1}B=\frac{1}{2}$。

$y_{\infty }=\frac{1}{2}Nr=r$ が任意の $r$ で成り立つ条件から $N=2$。

検算: $r$ に対し $x_{\infty }=\left(r,-\frac{r}{3}\right)$（$N=2$ のとき）。${\dot{x}}_1=x_1+2x_2+u$, $u=-3x_1-2x_2+2r=-3r+\frac{2r}{3}+2r=-\frac{r}{3}$。${\dot{x}}_1=r-\frac{2r}{3}-\frac{r}{3}=0$、${\dot{x}}_2=-x_2+u=\frac{r}{3}-\frac{r}{3}=0$。確かに平衡で $y=x_1=r$。