ステップ応答と最終値

$Y (s) = G (s) / s$ を部分分数分解してステップ応答 $y (t)$ を求め、最終値 $lim_{t \to \infty} y (t) = G (0)$ （安定な場合）や、逆ぶれの最小値などの極値を求められる

前提

伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）

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算数中学高校大学大学院

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伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）

説明

伝達関数 $G (s)$ の系に、 $t = 0$ で $0$ から $1$ に切り替わる入力（単位ステップ入力、 $u (t) = 1 (t \geq 0)$ ）を加えたときの出力 $y (t)$ （ステップ応答）を、初期状態 $0$ のもとで求めます。 $Y (s) = G (s) / s$ を部分分数分解して 1 項ずつ逆ラプラス変換すれば $y (t)$ が式で得られ、そこから最終的に落ち着く値（最終値）や、途中で逆向きにふれる量（逆ぶれ）・行き過ぎの大きさなどの極値を求められます。制御系の応答が目標値にどれだけ近づくか、途中でどう動くかを評価する場面で使います。

なぜそうしてよいのか

初期状態が $0$ のとき、伝達関数の定義から出力のラプラス変換は $Y (s) = G (s) U (s)$ です。単位ステップのラプラス変換は $\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t = \frac{1}{s}$ （ $s > 0$ ）なので $Y (s) = \frac{G ( s )}{s}$ となります。 $G (s)$ が有理関数なら $Y (s)$ も有理関数で、部分分数分解すると $\frac{c}{s - α}$ （ $α$ は極）のような簡単な項の和になり、それぞれ $c e^{α t}$ に逆変換できます。

$G (s)$ の極 $p_{1}, \dots, p_{k}$ がすべて相異なり $0$ でないとすると、
$\frac{G ( s )}{s} = \frac{c _{0}}{s} + i = 1 \sum k \frac{c _{i}}{s - p _{i}}, y (t) = c_{0} + i = 1 \sum k c_{i} e^{p_{i} t}$
です。両辺に $s$ を掛けて $s = 0$ とおけば $c_{0} = G (0)$ がわかります。極の実部がすべて負（安定）なら $e^{p_{i} t} \to 0$ （複素数の極ではオイラーの公式より $∣ e^{p_{i} t} ∣ = e^{(Re p_{i}) t} \to 0$ ）なので、 $lim_{t \to \infty} y (t) = c_{0} = G (0)$ が成り立ちます。重根の極でも $t^{j} e^{p_{i} t} \to 0$ なので同じ結論です。逆に実部が $0$ 以上の極があると、その項は $0$ に近づかないので、この公式は使えません。

途中の様子は、求めた $y (t)$ を微分して増減表を作れば調べられます。たとえば $G (s)$ が正の実数の零点をもつと、出力がいったん最終値と逆の向きに動いてから戻る「逆ぶれ」が起こることがあり、その最小値は $y^{'} (t) = 0$ となる $t$ で求められます。

手順

ステップ応答のラプラス変換 $Y (s) = \frac{G ( s )}{s}$ を書き、分母を因数分解して極を求める
$Y (s)$ を部分分数分解する。各係数は、その因数を掛けてから極の値を代入して求める（例: $\frac{1}{s}$ の係数は $G (0)$ ）
各項を逆ラプラス変換して $y (t)$ を求める（ $\frac{c}{s - p} \mapsto c e^{pt}$ ）
$G (s)$ の極の実部がすべて負であることを確かめ、最終値 $lim_{t \to \infty} y (t) = G (0)$ を求める
極値が必要なら $y^{'} (t)$ を計算し、 $y^{'} (t) = 0$ となる $t > 0$ と増減表から最小値・最大値を求める

例題

伝達関数
$G (s) = \frac{1 - s}{( s + 1 ) ( s + 2 )}$
の系に、初期状態 $0$ で単位ステップ入力を加えたときの出力を $y (t) (t \geq 0)$ とする。 $y (t)$ の最小値を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $Y (s) = \frac{G ( s )}{s} = \frac{1 - s}{s ( s + 1 ) ( s + 2 )}$ 。極は $s = 0, - 1, - 2$ 。

（手順 2） $Y (s) = \frac{c _{0}}{s} + \frac{c _{1}}{s + 1} + \frac{c _{2}}{s + 2}$ とおく。
- $c_{0}$ : $s$ を掛けて $s = 0$ を代入すると $c_{0} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ （ $= G (0)$ ）
- $c_{1}$ : $s + 1$ を掛けて $s = - 1$ を代入すると $c_{1} = \frac{1 - ( - 1 )}{( - 1 ) ( 1 )} = - 2$
- $c_{2}$ : $s + 2$ を掛けて $s = - 2$ を代入すると $c_{2} = \frac{1 - ( - 2 )}{( - 2 ) ( - 1 )} = \frac{3}{2}$

（手順 3）逆ラプラス変換して
$y (t) = \frac{1}{2} - 2 e^{- t} + \frac{3}{2} e^{- 2 t} .$
$y (0) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ で、初期状態 $0$ と合う。

（手順 4） $G (s)$ の極 $- 1, - 2$ はともに負なので安定で、最終値は $lim_{t \to \infty} y (t) = G (0) = \frac{1}{2}$ 。

（手順 5） $y^{'} (t) = 2 e^{- t} - 3 e^{- 2 t} = e^{- 2 t} (2 e^{t} - 3)$ 。 $e^{- 2 t} > 0$ なので、 $y^{'} (t) < 0 (0 < t < lo g \frac{3}{2})$ 、 $y^{'} (lo g \frac{3}{2}) = 0$ 、 $y^{'} (t) > 0 (t > lo g \frac{3}{2})$ 。よって $y$ は $t = lo g \frac{3}{2}$ で最小となる。 $e^{- t} = \frac{2}{3}, e^{- 2 t} = \frac{4}{9}$ を代入して
$y (lo g \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{1}{6} .$
出力は最終値 $\frac{1}{2}$ とは逆向きにいったん $- \frac{1}{6}$ までふれてから戻る（逆ぶれ）。 $y (0) = 0 > - \frac{1}{6}$ 、 $t \to \infty$ で $\frac{1}{2}$ に近づくので、最小値は $- \frac{1}{6}$ である。

答え: $- \frac{1}{6}$

よくある誤り

$Y (s) = G (s)$ として $G (s)$ をそのまま逆変換してしまう誤り。それはインパルス入力に対する応答で、ステップ応答は $Y (s) = \frac{G ( s )}{s}$ を逆変換する（例題では $\frac{1}{s}$ の項 $\frac{1}{2}$ を落とすことになる）
不安定な系にも最終値 $G (0)$ を使ってしまう誤り。たとえば $G (s) = \frac{1}{s - 1}$ では $G (0) = - 1$ だが、 $y (t) = e^{t} - 1 \to \infty$ で最終値は存在しない。正しくは極の実部がすべて負であることを確かめてから $lim_{t \to \infty} y (t) = G (0)$ を使う
部分分数の係数を求めるとき、掛けた因数を外さずに代入したり符号を誤ったりする誤り。例題の $\frac{c _{1}}{s + 1}$ では $\frac{1 - s}{s ( s + 2 )}$ に $s = - 1$ を代入して $c_{1} = \frac{2}{( - 1 ) \cdot 1} = - 2$ とする（ $+ 2$ ではない）
極値を求める問題で、 $y^{'} (t) = 0$ となる時刻 $t = lo g \frac{3}{2}$ を答えにしてしまう、あるいは最終値 $\frac{1}{2}$ と最小値を混同する誤り。正しくはその時刻を $y (t)$ に代入した値 $- \frac{1}{6}$ が最小値である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
伝達関数
$G (s) = \frac{12}{( s + 1 ) ( s + 3 )}$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t = 0$ に単位ステップ入力 $u (t) = 1 (t \geq 0)$ を加える。このときの出力 $y (t) (t \geq 0)$ を $t$ の式で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

目標値追従の前置ゲイン（大学院数学制御理論）