可制御性と可観測性

可制御性行列 $(B A B \dots A^{n - 1} B)$ と可観測性行列の階数を求めて、系が可制御・可観測かを判定できる

前提

行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）

説明

状態 $x \in R^{n}$ 、入力 $u \in R^{m}$ 、出力 $y \in R^{p}$ をもつ線形系 $x ˙ = A x + B u, y = C x$ （ $A$ は $n \times n$ 、 $B$ は $n \times m$ 、 $C$ は $p \times n$ の定数行列）について、入力で状態を思いどおりの値へ動かせるか（可制御性）、出力の観測から状態を一意に知ることができるか（可観測性）を判定します。判定は、可制御性行列 $(B A B \dots A^{n - 1} B)$ と可観測性行列の階数が $n$ かどうかを調べるだけで済みます。制御器や状態推定器を設計する前に、そもそも設計が可能かを確かめる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

考え方は、離散時間の系 $x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k}$ で見るとわかりやすいです。初期状態 $x_{0}$ から $n$ 回入力を加えると
$x_{n} = A^{n} x_{0} + A^{n - 1} B u_{0} + A^{n - 2} B u_{1} + \dots + B u_{n - 1} = A^{n} x_{0} + (B A B \dots A^{n - 1} B) u_{n - 1} ⋮ u_{0}$
となります。任意の $x_{0}$ から任意の目標 $x_{f}$ へ移せるとは、連立 1 次方程式 $U v = x_{f} - A^{n} x_{0}$ （ $U = (B A B \dots A^{n - 1} B)$ ）が右辺によらず必ず解をもつことです。前提の技能より、これは「 $U$ の列ベクトルが $R^{n}$ 全体を張る」、つまり $rank U = n$ と同値です。 $A^{n} B$ 以降を加えなくてよいのは、 $A^{n}$ が $I, A, \dots, A^{n - 1}$ の 1 次結合で書けるから（ケイリー・ハミルトンの定理。たとえば $2 \times 2$ では $A^{2} = (tr A) A - (det A) I$ が成り立つことを直接確かめられます）で、 $A^{n} B, A^{n + 1} B, \dots$ の列は $B, \dots, A^{n - 1} B$ の列の 1 次結合になり、張る空間が広がらないためです。連続時間の系 $x ˙ = A x + B u$ でも、同じ条件 $rank U = n$ が可制御性（任意の状態から任意の状態へ有限時間で移せること）の必要十分条件になることが知られています（カルマンの階数条件）。

可観測性も同様です。入力の寄与は既知なので差し引けば $u = 0$ として考えてよく、離散時間では $y_{0} = C x_{0}, y_{1} = C A x_{0}, \dots, y_{n - 1} = C A^{n - 1} x_{0}$ を縦に並べると $V x_{0} = (y_{0}, \dots, y_{n - 1})^{T}$ 、ただし $V = C C A ⋮ C A^{n - 1}$ です。観測値から $x_{0}$ が一意に決まるのは、斉次方程式 $V x = 0$ が $x = 0$ しか解をもたないとき、つまり自由度が $0$ で $rank V = n$ のときです。連続時間でも同じ条件で可観測性が判定できます。

なお $V$ を転置すると $(C^{T} A^{T} C^{T} \dots (A^{T})^{n - 1} C^{T})$ になるので、「 $(A, C)$ が可観測」と「 $(A^{T}, C^{T})$ が可制御」は同じ条件です（双対性）。

手順

状態の次元 $n$ （ $A$ の次数）と、行列 $A, B, C$ を確認する
可制御性を調べるときは $A B, A^{2} B = A (A B), \dots, A^{n - 1} B$ を順に計算する（左から $A$ を掛ける）
それらを横に並べて可制御性行列 $U = (B A B \dots A^{n - 1} B)$ （ $n \times nm$ 行列）を作る
$U$ の階数を掃き出し法で求め、 $rank U = n$ なら可制御、 $n$ 未満なら可制御でないと判定する（入力が 1 つで $U$ が正方行列なら $det U \neq = 0$ と同値）
可観測性を調べるときは $C, C A, \dots, C A^{n - 1}$ （右から $A$ を掛ける）を縦に並べて可観測性行列 $V = C C A ⋮ C A^{n - 1}$ （ $p n \times n$ 行列）を作り、 $rank V = n$ なら可観測と判定する

例題

実数の定数 $a$ を含む線形系 $x ˙ = A x + B u$ を考える。ここで $x \in R^{2}$ 、 $u \in R$ であり、
$A = (10 2 a), B = (11)$
とする。この系が可制御でなくなるような $a$ の値を求めよ。

例題の解答

（手順 1）状態の次元は $n = 2$ 、入力は 1 つなので、可制御性行列は $(B A B)$ の $2 \times 2$ 行列になる。

（手順 2） $A B$ を計算する。
$A B = (10 2 a) (11) = (3 a) .$
$n - 1 = 1$ なので $A^{2} B$ は不要である。

（手順 3）可制御性行列は
$U = (B A B) = (11 3 a) .$

（手順 4） $U$ は正方行列なので、 $rank U = 2$ と $det U \neq = 0$ は同値である。
$det U = 1 \cdot a - 3 \cdot 1 = a - 3.$
よって $a \neq = 3$ のとき $rank U = 2$ で可制御、 $a = 3$ のとき $U = (1133)$ は第 2 行から第 1 行を引くと $(1030)$ となり $rank U = 1 < 2$ で可制御でない。

（確認） $a = 3$ のとき $A B = (33) = 3 B$ であり、 $U$ の列はすべて $B$ の方向を向くので、状態を $B$ の方向以外へ思いどおりに動かせないことがわかる。

したがって求める値は $a = 3$ である。

答え: $3$

よくある誤り

$n = 3$ の系で $(B A B)$ だけを作って階数を調べてしまう誤り。正しくは $A^{n - 1} B$ まで並べ、 $n = 3$ なら $U = (B A B A^{2} B)$ の階数が $3$ かどうかを調べる
$A B$ の代わりに $B A$ を計算しようとしたり、可観測性行列で $C A$ の代わりに $A C$ を使ったりする誤り。 $B$ は $n \times m$ 、 $C$ は $p \times n$ なので、正しくは可制御性では $A$ を左から掛けて $A B, A (A B)$ 、可観測性では右から掛けて $C A, (C A) A$ とする
入力が複数ある（ $m \geq 2$ ）ときに、 $U$ が正方行列でないのに行列式で判定しようとしたり、階数を列の本数 $nm$ と比べて「 $rank U = nm$ でなければ可制御でない」と考えたりする誤り。正しくは $n \times nm$ 行列 $U$ の階数が $n$ （行の数）に等しいかで判定する。たとえば $n = 2, m = 2$ なら $U$ は $2 \times 4$ で、階数は最大でも $2$ であり、 $rank U = 2$ なら可制御である
出力行列 $C$ だけを見て、 $rank C < n$ なら可観測でない（あるいは $C$ が $0$ でない列をもてば可観測）と判定してしまう誤り。正しくは $C A, \dots, C A^{n - 1}$ まで並べた $V$ の階数で判定する。たとえば $A = (0010)$ で、 $C = (10)$ なら $C A = (01)$ より $V = (1001)$ 、 $rank V = 2$ で可観測（ $rank C = 1 < 2$ でもよい）。一方 $C = (01)$ なら $C A = (00)$ より $V = (0010)$ 、 $rank V = 1$ で可観測でない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
状態 $x (t) \in R^{3}$ 、入力 $u (t) \in R$ 、出力 $y (t) \in R$ をもつ連続時間線形時不変系
$x ˙ (t) = A x (t) + B u (t), y (t) = C x (t),$
$A = - 1 00 0 - 2 0 01 - 2, B = 101, C = (101)$
を考える。可制御性行列 $U_{c} = (B A B A^{2} B)$ の階数を $r_{c}$ 、可観測性行列 $U_{o} = C C A C A^{2}$ の階数を $r_{o}$ とする。組 $(r_{c}, r_{o})$ をこの順に求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最小実現と極零相殺（大学院数学制御理論）
零次ホールド離散化とサンプル値系の可制御性（大学院数学制御理論）
極配置による状態フィードバック（大学院数学制御理論）
行列リッカチ方程式と最適コスト（大学院数学制御理論）