制御理論の問題

実数のパラメータ $a$ を含む 1 入力 1 出力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),y(t)=cx(t)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$ であり、
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{cc}a& 1\end{array}\right)$$
とする。この系が可観測でなくなるような $a$ の値をすべて求めよ。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^4$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -9& 0& -10& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
を考える。サンプリング周期 $h>0$ の零次ホールド（入力を $u(t)=u_k(kh\le t<(k+1)h)$ と区分的に一定にする）と、時刻 $t=kh$ でのサンプリング $y_k=y(kh)$ によって得られる離散時間系
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,y_k=C{x}_k,\Phi =e^{Ah},\Gamma ={\int }_0^h{e}^{A\tau }d\tau B$$
を考える（$x_k=x(kh)$）。$0<h\le 2\pi$ の範囲で、この離散時間系が「可制御でない、または可観測でない」ような $h$ の値をすべて求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-kx(t)$ を施す。ここで $k=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする行ベクトルであり、閉ループ系 $\dot{x}=(A-bk)x$ の極（$A-bk$ の固有値）が $-2,-1+i,-1-i$ となるように定める（$i$ は虚数単位）。

この閉ループ系を初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ から動かしたとき、
$${\int }_0^{\infty }{x}_1(t)dt$$
の値を求めよ。

1 入力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -36& 0& -13& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
を考える（$x(t)\in {\mathbb{R}}^4$, $u(t)\in \mathbb{R}$）。サンプリング周期 $T>0$ の零次ホールド、すなわち整数 $k\ge 0$ に対して $u(t)=u_k(kT\le t<(k+1)T)$ とし、$x_k=x(kT)$ とおくと、離散時間系
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,\Phi =e^{AT},\Gamma ={\int }_0^T{e}^{A\sigma }bd\sigma$$
が得られる。この離散時間系が可制御である（$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}\Gamma & \Phi \Gamma & {\Phi }^2\Gamma & {\Phi }^3\Gamma \end{array}\right)=4$ が成り立つ）ことを、$(\Phi ,\Gamma )$ が可制御であるという。

$0<T\le \pi$ の範囲で、$(\Phi ,\Gamma )$ が可制御でなくなるような $T$ をすべて求めよ。

実数値の入力 $u(t)$ をもつ連続時間線形系
$${\ddot{x}}_1(t)=-x_1(t)+u(t),{\ddot{x}}_2(t)=-4x_2(t)+u(t)$$
を考え、状態を $x=(x_1,{\dot{x}}_1,x_2,{\dot{x}}_2{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^4$ として $\dot{x}=Ax+bu$ と書く。ここで
$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -4& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
である。サンプリング周期 $T>0$ で零次ホールド（$kT\le t<(k+1)T$ で $u(t)=u_k$ と一定に保つ）を用いて離散化すると、$x_k=x(kT)$ は
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,\Phi =e^{AT},\Gamma ={\int }_0^T{e}^{A\tau }bd\tau$$
に従う。この離散時間系が可制御である（すなわち $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}\Gamma & \Phi \Gamma & {\Phi }^2\Gamma & {\Phi }^3\Gamma \end{array}\right)=4$ となる）ことが成り立たないような $T$ を、$0<T<2\pi$ の範囲ですべて求めよ。