制御理論の問題

実数のパラメータ $a$ を含む 1 入力 1 出力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),y(t)=cx(t)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$ であり、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& a& 0\\ 0& -2& a\\ 0& 0& -3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\end{array}\right)$$
とする。この系が可制御でないか、または可観測でない（すなわち $(A,b,c)$ が最小実現でない）ような実数 $a$ をすべて求めよ。

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -5& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^2$ は状態、$u(t),y(t)\in \mathbb{R}$ は入力と出力である。この系の伝達関数 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B$ を既約な有理関数で表したとき、その極（分母の根）をすべて求めよ。極は複素数の範囲で考え、虚数単位を $i$ とする。

状態 $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$、出力 $y(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t),$$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right)$$
を考える。可制御性行列 $U_c=\left(\begin{array}{ccc}B& AB& A^{2}B\end{array}\right)$ の階数を $r_c$、可観測性行列 $U_o=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\end{array}\right)$ の階数を $r_o$ とする。組 $(r_c,r_o)$ をこの順に求めよ。

状態 $x[k]\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u[k]\in \mathbb{R}$ をもつ離散時間線形時不変系
$$x[k+1]=Ax[k]+bu[k](k=0,1,2,\dots ),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u[k]=-Kx[k]$（$K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$, $k_1,k_2$ は実数）を施す。$A-bK$ の固有値がすべて $0$ となるように $K$ を定め、初期状態を $x[0]=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ とする。このとき $\sum _{k=0}^{\infty }u[k{]}^2$ の値を求めよ。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ連続時間線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-Kx(t)$, $K=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$（$k_1,k_2$ は実数）を施す。閉ループ系 $\dot{x}=(A-BK)x$ の固有値がちょうど $-2$ と $-4$ になるように $K$ を定める。このとき、状態が $x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ である時刻に加えられる入力 $u$ の値を求めよ。