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技能一覧 › 大学院数学 制御理論

最小実現と極零相殺

パラメータを含む が可制御でない・可観測でないようなパラメータの値を求め、それが伝達関数の極零相殺と対応することを使える

前提

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算数中学高校大学大学院

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  5. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  6. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
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  15. 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
  16. 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
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  18. 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
  19. 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
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  21. 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
  22. 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）
  23. 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
  24. 三平方の定理と平面図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
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  27. 掃き出し法と連立 1 次方程式 （大学数学 線形代数）
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  30. 因数分解 （中学数学 数と式）
  31. 3 次式までの展開と因数分解 （数学I 数と式）
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  33. 多項式の微分 （数学II 微分法と積分法）
  34. 多項式の不定積分 （数学II 微分法と積分法）
  35. 等間隔にならんだ数の和 （算数 計算と数のきまり）
  36. 等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
  37. 数列の極限 （数学III 極限）
  38. 関数の極限 （数学III 極限）
  39. 積と商の微分 （数学III 微分法）
  40. 合成関数の微分 （数学III 微分法）
  41. 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
  42. おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
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  47. 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式 （数学II 三角関数）
  48. 三角関数の導関数 （数学III 微分法）
  49. 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
  50. 指数の拡張と指数関数 （数学II 指数関数と対数関数）
  51. 対数の定義と性質 （数学II 指数関数と対数関数）
  52. 自然対数の底 （数学III 極限）
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  54. 基本的な関数の不定積分 （数学III 積分法）
  55. 置換積分 （数学III 積分法）
  56. 部分積分 （数学III 積分法）
  57. 定積分の計算 （数学II 微分法と積分法）
  58. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）
  59. 広義積分 （大学数学 微分積分）
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  61. 分数関数の積分（部分分数分解） （数学III 積分法）
  62. ラプラス変換と逆変換 （大学数学 フーリエ解析・ラプラス変換）
  63. 変数分離形 （大学数学 微分方程式）
  64. 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
  65. 関数 の式と変域 （中学数学 関数）
  66. 平方完成と 2 次関数のグラフ （数学I 2次関数）
  67. 2 次不等式 （数学I 2次関数）
  68. 増減表と極値 （数学II 微分法と積分法）
  69. 関数の連続性と中間値の定理 （数学III 極限）
  70. 平均値の定理 （数学III 微分法）
  71. 第 2 次導関数とグラフの凹凸 （数学III 微分法）
  72. 増減・凹凸・漸近線とグラフ （数学III 微分法）
  73. テイラー展開 （大学数学 微分積分）
  74. 無限等比級数と無限級数 （数学III 極限）
  75. べき級数と収束半径 （大学数学 微分積分）
  76. 複素数と 2 次方程式の虚数解 （数学II 複素数と方程式）
  77. オイラーの公式 （大学数学 微分積分）
  78. 三角関数の合成 （数学II 三角関数）
  79. 定数係数 2 階線形（斉次） （大学数学 微分方程式）
  80. 1 階線形微分方程式 （大学数学 微分方程式）
  81. 定数係数 2 階線形（非斉次） （大学数学 微分方程式）
  82. ラプラス変換による微分方程式の解法 （大学数学 フーリエ解析・ラプラス変換）
  83. 掃き出し法による逆行列 （大学数学 線形代数）
  84. 伝達関数と極・零点 （大学院数学 制御理論）

説明

入力 1 つ・出力 1 つの状態方程式 （ は 、 は 、 は ）について、パラメータのどの値で可制御性または可観測性が失われるかを求め、それが伝達関数 の分子と分母の共通因数の約分（極零相殺）として現れることを使えるようにします。状態の次元が の表現（実現）が、同じ伝達関数をもつ表現の中で最も次元が小さい（最小実現である）のは、可制御かつ可観測のとき、そしてそのときに限ります。伝達関数から何次の状態方程式が本当に必要かを知る場面や、約分で見えなくなった内部の動き（モード）を見落とさないためのチェックに使います。

なぜそうしてよいのか

（ は余因子行列）より、

で、分母は 次、分子は 次以下の多項式です。約分がまったく起こらなければ の極は の固有値 個（重複込み）すべてですが、分子と分母に共通因数があると、その分だけ の分母の次数が下がります。

なぜ約分と可制御・可観測が結びつくのかは、 が相異なる固有値 をもつ対角行列 の場合を見るとよくわかります。このとき状態の各成分は と別々に動き、 なので

です。可制御性行列 の第 行は で、 が相異なるので行 たちは 1 次独立です（ファンデルモンド行列式 ）。よって階数が になるのは がすべての で成り立つとき、同様に可観測は がすべての で成り立つときです。一方、 から の項が消える（その極が分子と相殺される）のは 、つまり「（入力がそのモードを動かせない＝可制御でない）または （そのモードが出力に現れない＝可観測でない）」のときです。消えたモードは入力から出力への伝わり方に関与しないので、それを取り除いた 次の状態方程式でも同じ が実現できます。

一般の でも次のことが知られています: 次の実現 について、「可制御かつ可観測」「 と が共通因数をもたない」「最小実現である」。そして最小実現の次元は、 を約分しきったときの分母の次数に等しくなります。ただし、極零相殺が起きたことからわかるのは「可制御でないか、可観測でないか（少なくとも一方）」までで、どちらなのかは可制御性行列・可観測性行列の階数を個別に調べて決めます。

手順

  1. を計算し、分母 と分子 をそれぞれ因数分解する

  2. 分母の各根 について分子に を代入し、分子が になる（極零相殺が起こる）パラメータの値を求める

  3. 可制御性行列 の行列式を計算し、 になるパラメータの値（可制御でない値）を求める

  4. 可観測性行列 の行列式を計算し、 になるパラメータの値（可観測でない値）を求める

  5. 手順 3・4 で求めた値の和集合が手順 2 の値と一致することを確かめ、問われている性質（可制御でない・可観測でない・最小実現でない・最小実現の次元など）に答える

例題

実数のパラメータ を含む 2 次の系 を考える。ここで

とする。この系が可観測でなくなるような の値をすべて求めよ。

例題の解答

（手順 1）、。

より

（手順 2）分子 に分母の根を代入すると、 で 、 で 。よって極零相殺が起こるのは （ が相殺）と （ が相殺）のときである。

（手順 3） で、 の行列式は 。よって によらず可制御である。

（手順 4） より

これが になるのは で、このとき可観測性行列の階数は となり可観測でない。

（手順 5）系は常に可制御なので、手順 2 の極零相殺はすべて可観測性の喪失によるもので、両者の結果 は一致する。たとえば では となり、1 次の状態方程式で同じ伝達関数が実現できる。

よって求める値は 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題