制御理論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学制御理論

$n, m, p$ を正の整数とし、 $A \in R^{n \times n}$ , $B \in R^{n \times m}$ , $C \in R^{p \times n}$ とする。系 $x ˙ = A x + B u$ , $y = C x$ に、出力の積分 $z ˙ = - y$ （ $z \in R^{p}$ ）を付け加えた拡大系
$\frac{d}{d t} (x z) = A ~ (x z) + B ~ u, A ~ = (A - C O O), B ~ = (B O)$
を考える（ $A ~$ は $(n + p)$ 次正方行列）。

拡大系 $(A ~, B ~)$ が可制御であるための必要十分条件は、「 $(A, B)$ が可制御」かつ
$rank (A C B O) = n + p$
であることを証明せよ。

ただし、次の可制御性の判定法（PBH テスト）は用いてよい: $F \in R^{N \times N}$ , $G \in R^{N \times r}$ について、 $(F, G)$ が可制御であることと、すべての $λ \in C$ に対して $rank (λ I_{N} - F G) = N$ であることは同値である。

この問題で使うもの

可制御性と可観測性（説明と入口の問題）
最小実現と極零相殺（説明と入口の問題）
行列の階数と解の存在（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

PBH テストを拡大系に使い、 $(λ I - A ~ B ~)$ の階数を調べます。 $λ \neq = 0$ と $λ = 0$ で様子が違うので、場合を分けましょう。

ヒント 2

$λ \neq = 0$ のときは右下の $λ I_{p}$ を使った列基本変形で $C$ のブロックを消せます。 $λ = 0$ のときは $(A C B O)$ が現れます。

ヒント 3

$λ \neq = 0$ では $rank (λ I - A ~ B ~) = rank (λ I_{n} - A B) + p$ 、 $λ = 0$ では $rank (A C B O)$ に等しくなります。必要性では、 $λ = 0$ での $(A, B)$ の PBH 条件をどこから得るかに注意しましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

PBH テストを拡大系に適用し、 $(λ I - A ~ B ~)$ をブロック形で正しく書き、 $λ \neq = 0$ と $λ = 0$ に場合分けしている（1 点）
$λ \neq = 0$ のとき、 $λ I_{p}$ を用いた正則な列変形で $C$ のブロックを消し、階数が $rank (λ I_{n} - A B) + p$ になることを示している（3 点）
$λ = 0$ のとき、零列を除き符号を調整して、階数が $rank (A C B O)$ に等しいことを示している（2 点）
十分性: $(A, B)$ の PBH 条件と階数条件から、すべての $λ$ で拡大系の PBH 条件が成り立つことを導いている（2 点）
必要性: 階数条件を得たうえで、その上側 $n$ 行が一次独立であることから $λ = 0$ での $rank (A B) = n$ を導き、 $λ \neq = 0$ と合わせて $(A, B)$ の可制御性を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針. PBH テストを拡大系に適用し、 $λ \neq = 0$ と $λ = 0$ に場合を分けて、行列
$M (λ) = (λ I_{n + p} - A ~ B ~) = (λ I_{n} - A C O λ I_{p} B O) \in C^{(n + p) \times (n + p + m)}$
の階数を $(A, B, C)$ の言葉で表す。PBH テストより、 $(A ~, B ~)$ が可制御 $⟺$ すべての $λ \in C$ で $rank M (λ) = n + p$ である。

ステップ 1: $λ \neq = 0$ の場合. 正則行列
$T = I_{n} - λ^{- 1} C O O I_{p} O O O I_{m}$
（ブロック下三角で対角ブロックが単位行列なので行列式は $1$ ）を右から掛けると、第 1 ブロック列は
$(λ I_{n} - A C) + (O λ I_{p}) (- λ^{- 1} C) = (λ I_{n} - A O)$
となり、他のブロック列は変わらないので
$M (λ) T = (λ I_{n} - A O O λ I_{p} B O) .$
正則行列を掛けても階数は変わらず、この行列は（列の並べ替えで）ブロック対角 $diag ((λ I_{n} - A B), λ I_{p})$ の形なので
$rank M (λ) = rank (λ I_{n} - A B) + p .$
よって $λ \neq = 0$ のとき、 $rank M (λ) = n + p ⟺ rank (λ I_{n} - A B) = n$ 。

ステップ 2: $λ = 0$ の場合.
$M (0) = (- A C O O B O) .$
零の列ブロックは階数に寄与しないので $rank M (0) = rank (- A C B O)$ 。さらに第 1 ブロック列に $- 1$ を掛け（右から $diag (- I_{n}, I_{m})$ ）、次に第 2 ブロック行に $- 1$ を掛ける（左から $diag (I_{n}, - I_{p})$ ）と $(A C B O)$ になる。これらは正則行列による変形なので
$rank M (0) = rank (A C B O) .$

ステップ 3: 十分性. $(A, B)$ が可制御で、 $rank (A C B O) = n + p$ とする。PBH テストを $(A, B)$ に使うと、すべての $λ$ で $rank (λ I_{n} - A B) = n$ 。よってステップ 1 から $λ \neq = 0$ で $rank M (λ) = n + p$ 、ステップ 2 から $rank M (0) = n + p$ 。PBH テストより $(A ~, B ~)$ は可制御である。

ステップ 4: 必要性. $(A ~, B ~)$ が可制御とする。PBH テストより、すべての $λ$ で $rank M (λ) = n + p$ 。

ステップ 2 より $rank (A C B O) = n + p$ 。
この $(n + p)$ 行の行列の階数が $n + p$ なので、その $n + p$ 本の行は一次独立であり、特に上の $n$ 本の行 $(A B)$ も一次独立である。よって $rank (0 \cdot I_{n} - A B) = rank (A B) = n$ （ $- A$ と $A$ で列空間の次元は等しい）。
$λ \neq = 0$ については、ステップ 1 より $rank (λ I_{n} - A B) = n$ 。

したがってすべての $λ \in C$ で $rank (λ I_{n} - A B) = n$ となり、PBH テストより $(A, B)$ は可制御である。

結論. ステップ 3, 4 より、拡大系 $(A ~, B ~)$ が可制御であることは、 $(A, B)$ が可制御かつ $rank (A C B O) = n + p$ であることと同値である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

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