制御理論の問題

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$ とする。系 $\dot{x}=Ax+Bu$, $y=Cx$ に、出力の積分 $\dot{z}=-y$（$z\in {\mathbb{R}}^p$）を付け加えた拡大系
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)=\tilde{A}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)+\tilde{B}u,\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ -C& O\end{array}\right),\tilde{B}=\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)$$
を考える（$\tilde{A}$ は $(n+p)$ 次正方行列）。

拡大系 $(\tilde{A},\tilde{B})$ が可制御であるための必要十分条件は、「$(A,B)$ が可制御」かつ
$$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& O\end{array}\right)=n+p$$
であることを証明せよ。

ただし、次の可制御性の判定法（PBH テスト）は用いてよい: $F\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$, $G\in {\mathbb{R}}^{N\times r}$ について、$(F,G)$ が可制御であることと、すべての $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}\lambda I_N-F& G\end{array}\right)=N$ であることは同値である。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
に、状態フィードバック $u(t)=-kx(t)$ を施す。ここで $k=(k_1,k_2,k_3)$ は実数を成分とする行ベクトルであり、閉ループ系 $\dot{x}=(A-bk)x$ の極（$A-bk$ の固有値）が $-2,-1+i,-1-i$ となるように定める（$i$ は虚数単位）。

この閉ループ系を初期状態 $x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ から動かしたとき、
$${\int }_0^{\infty }{x}_1(t)dt$$
の値を求めよ。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$, および正定値対称行列 $R\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ が与えられているとする。$(C,A)$ は可観測、すなわち可観測性行列
$$\mathcal{O}=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
の階数が $n$ であるとする。実対称行列 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ が半正定値であり、代数リッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\top }P+C^{\top }C=O$$
を満たすとき、$P$ は正定値であることを証明せよ。ただし、実対称行列が正定値であることと、半正定値かつ正則であることが同値であることは用いてよい。

実数値の入力 $u(t)$ をもつ連続時間線形系
$${\ddot{x}}_1(t)=-x_1(t)+u(t),{\ddot{x}}_2(t)=-4x_2(t)+u(t)$$
を考え、状態を $x=(x_1,{\dot{x}}_1,x_2,{\dot{x}}_2{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^4$ として $\dot{x}=Ax+bu$ と書く。ここで
$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -4& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
である。サンプリング周期 $T>0$ で零次ホールド（$kT\le t<(k+1)T$ で $u(t)=u_k$ と一定に保つ）を用いて離散化すると、$x_k=x(kT)$ は
$$x_{k+1}=\Phi x_k+\Gamma u_k,\Phi =e^{AT},\Gamma ={\int }_0^T{e}^{A\tau }bd\tau$$
に従う。この離散時間系が可制御である（すなわち $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}\Gamma & \Phi \Gamma & {\Phi }^2\Gamma & {\Phi }^3\Gamma \end{array}\right)=4$ となる）ことが成り立たないような $T$ を、$0<T<2\pi$ の範囲ですべて求めよ。

実数のパラメータ $a$ を含む 1 入力 1 出力の線形時不変系
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),y(t)=cx(t)$$
を考える。ここで $x(t)\in {\mathbb{R}}^3$ であり、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& a& 0\\ 0& -2& a\\ 0& 0& -3\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\end{array}\right)$$
とする。この系が可制御でないか、または可観測でない（すなわち $(A,b,c)$ が最小実現でない）ような実数 $a$ をすべて求めよ。