制御理論の問題

1. 連続時間系の固有値と左固有ベクトル

$A$ はブロック対角 $A=\mathrm{diag}(A_1,A_2)$, $A_{\omega }=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& 0\end{array}\right)$（$\omega =1,2$）である。$A_{\omega }$ の固有値は $\pm i\omega$ なので、$A$ の固有値は $\pm i,\pm 2i$ の相異なる 4 つで、$A$ は（複素数の範囲で）対角化可能である。

固有値 $i\omega$ に対する $A_{\omega }$ の左固有ベクトル $w=(p,q)$ は $w{A}_{\omega }=(-{\omega }^{2}q,p)=i\omega (p,q)$ より $p=i\omega q$ で、$w=(i\omega ,1)$ ととれる（$-i\omega$ に対してはその複素共役 $(-i\omega ,1)$）。これを他方のブロックの成分を $0$ として ${\mathbb{C}}^4$ の行ベクトルに拡張したものを $w_{\lambda }$（$\lambda =\pm i,\pm 2i$）とおく。

2. $\Phi$ と $\Gamma$

$e^{A_{\omega }\tau }=\left(\begin{array}{cc}\cos \omega \tau & \frac{\sin \omega \tau }{\omega }\\ -\omega \sin \omega \tau & \cos \omega \tau \end{array}\right)$ なので、各ブロックで
$${\Gamma }_{\omega }={\int }_0^T\left(\begin{array}{c}\frac{\sin \omega \tau }{\omega }\\ \cos \omega \tau \end{array}\right)d\tau =\left(\begin{array}{c}\frac{1-\cos \omega T}{{\omega }^2}\\ \frac{\sin \omega T}{\omega }\end{array}\right)$$
である。また $w_{\lambda }A=\lambda w_{\lambda }$ から $w_{\lambda }\Phi =w_{\lambda }{e}^{AT}=e^{\lambda T}{w}_{\lambda }$ であり、$\lambda =i\omega$ のとき
$$w_{\lambda }\Gamma =\frac{i(1-\cos \omega T)+\sin \omega T}{\omega }=\frac{i}{\omega }\left(1-e^{i\omega T}\right)$$
となる（$\lambda =-i\omega$ はこの複素共役）。

3. 可制御性の判定（PBH 判定法）

離散時間系 $(\Phi ,\Gamma )$ が可制御であるための必要十分条件は、$\Phi$ のすべての固有値 $\mu$ と、$\mu$ に対するすべての左固有ベクトル $w\ne 0$ について $w\Gamma \ne 0$ となることである。

(i) $\Phi$ の固有値 $e^{iT},e^{-iT},e^{2iT},e^{-2iT}$ に重複があるとき：$\Phi =e^{AT}$ は $A$ と同じ固有ベクトルで対角化されるので、重複した固有値 $\mu$ の固有空間は 2 次元以上である。入力が 1 つなので $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}\mu I-\Phi & \Gamma \end{array}\right)\le (4-2)+1=3<4$ となり、可制御でない。

(ii) 重複がないとき：$\mu =e^{\lambda T}$ の左固有空間は $w_{\lambda }$ で張られる 1 次元空間なので、可制御 $⟺$ すべての $\lambda$ で $w_{\lambda }\Gamma \ne 0$ $⟺$ $e^{iT}\ne 1$ かつ $e^{2iT}\ne 1$。ところが $e^{i\omega T}=1$ なら $e^{i\omega T}=e^{-i\omega T}$ となり (i) の重複が起きているので、(ii) の場合は常に可制御である。

したがって、可制御でない $⟺$ $\Phi$ の固有値に重複がある、である。

4. 重複の条件

2 つの固有値 $e^{\lambda T},e^{{\lambda }^{\prime }T}$ が一致する $⟺$ $(\lambda -{\lambda }^{\prime })T\in 2\pi i\mathbb{Z}$。固有値の差 $\lambda -{\lambda }^{\prime }$ の虚部の絶対値は
- $i$ と $-i$：$2$、$2i$ と $-2i$：$4$、$i$ と $2i$（$-i$ と $-2i$）：$1$、$i$ と $-2i$（$-i$ と $2i$）：$3$

なので、条件は $T=\frac{2\pi n}{d}$（$d\in \{1,2,3,4\}$, $n$ は正の整数）となることである。$0<T<2\pi$ では
- $d=1$：なし
- $d=2$：$T=\pi$
- $d=3$：$T=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$
- $d=4$：$T=\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$

例えば $T=\frac{\pi }{2}$ では $e^{2iT}=e^{-2iT}=-1$、$T=\frac{2\pi }{3}$ では $e^{iT}=e^{-2iT}=e^{2\pi i/3}$ と確かに重複する。

よって求める $T$ は
$$T\in \left\{\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{3\pi }{2}\right\}$$
である。

$A$ は 2 つのブロックに分かれ、固有値は $\pm i$（角振動数 $1$）と $\pm 2i$（角振動数 $2$）。$\Phi =e^{AT}$ の固有値は $e^{\pm iT},e^{\pm 2iT}$。$A$ の固有値は相異なり、$b$ は各固有ベクトルに非零成分をもつので連続系は可制御。零次ホールド後の可制御性は、(i) 各固有値 $\lambda$ について $\Gamma$ の対応する成分が消えない（$\lambda =\pm i\omega$ のとき $\omega T\notin \pi \mathbb{Z}$、つまり $\sin \omega T\ne 0$）、(ii) 1 入力系では $\Phi$ の固有値が重複しない、の両方が必要十分（Φ は対角化可能で、固有値が重なるとその固有空間が 2 次元になり 1 入力では可制御でない）。(i) $\omega =1$: $\sin T=0$ すなわち $T=\pi$。$\omega =2$: $\sin 2T=0$ すなわち $T=\pi /2,\pi ,3\pi /2$。(ii) 固有値の一致: $e^{iT}=e^{-iT}$ は $\sin T=0$（(i) に含まれる）、$e^{2iT}=e^{-2iT}$ は $\sin 2T=0$（同）、$e^{iT}=e^{2iT}$ は $T\in 2\pi \mathbb{Z}$（範囲外）、$e^{iT}=e^{-2iT}$ は $3T\in 2\pi \mathbb{Z}$ すなわち $T=2\pi /3,4\pi /3$（$e^{-iT}=e^{2iT}$ も同じ条件）。以上を合わせて $T\in \{\pi /2,2\pi /3,\pi ,4\pi /3,3\pi /2\}$。検算: $T=\pi /2$ では $e^{\pm 2iT}=-1$ が重根で可制御性が失われる。$T=2\pi /3$ では $e^{iT}=e^{-2iT}=e^{2\pi i/3}$ で一致する。$T=\pi$ では $e^{\pm iT}=-1$ で重複する。それ以外の $T$ では $e^{\pm iT},e^{\pm 2iT}$ が相異なる 4 値かつ $\sin T\sin 2T\ne 0$ で可制御。