制御理論の問題

正の実数 $a,b,c$ が $c<a+b$ を満たすとする。開ループ伝達関数
$$L(s)=\frac{K(s+c)}{s(s+a)(s+b)}$$
（$K$ は実数のゲイン）をもつ単一フィードバック系を考え、その特性多項式を
$${\phi }_K(s)=s(s+a)(s+b)+K(s+c)$$
とする。閉ループ系が安定であるとは、${\phi }_K(s)$ の根の実部がすべて負であることと定める。

このとき、閉ループ系が安定であるための必要十分条件は $K>0$ であることを証明せよ。

ただし、次のフルビッツの安定判別法は用いてよい: 実係数の 3 次多項式 $s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$ の根の実部がすべて負であるための必要十分条件は、フルビッツ行列
$$H=\left(\begin{array}{ccc}{a}_2& a_0& 0\\ 1& a_1& 0\\ 0& a_2& a_0\end{array}\right)$$
の首座小行列式 ${\Delta }_1,{\Delta }_2,{\Delta }_3$（左上の $k\times k$ 部分の行列式, $k=1,2,3$）がすべて正であることである。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)=\left(\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ u_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=u(t)(\text{すなわち }A=O,B=I)$$
と、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }\left(x(t{)}^{\mathsf{T}}Qx(t)+u(t{)}^{\mathsf{T}}u(t)\right)dt,Q=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$$
を考える（$R=I$）。ここで $O$ は 2 次の零行列、$I$ は 2 次の単位行列である。初期状態を $x(0)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ とし、入力 $u$ を $J$ が有限となる関数全体から選ぶとき、$J$ の最小値 $J^{\ast }$ を求めよ。ただし、代数リッカチ方程式 $A^{\mathsf{T}}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\mathsf{T}}P+Q=0$ の対称な正定値解 $P$ を用いて $J^{\ast }=x(0{)}^{\mathsf{T}}Px(0)$ となることは用いてよい。

$n,m$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ とする。$(A,B)$ は可制御、すなわち可制御性行列
$$\mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times nm}$$
の階数が $n$ であるとする。

任意の状態フィードバックゲイン $K\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ と、閉ループ行列 $F=A-BK$ の任意の固有値 $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して、
$${\dim }_{\mathbb{C}}\ker (\lambda I-F)\le m$$
が成り立つこと（すなわち、状態フィードバックで配置したどの極の幾何的重複度も入力の本数 $m$ 以下であること）を証明せよ。ここで $\ker$ は ${\mathbb{C}}^n$ における核とし、$I$ は $n$ 次単位行列とする。

状態 $x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),x(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
に対して、評価関数
$$J={\int }_0^{\infty }(4x_1(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。ただし入力 $u$ は、$J$ が有限となり $t\to \infty$ で $x(t)\to 0$ となる区分的に連続な関数の中から選ぶものとする。$J$ の最小値を求めよ。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$ とする。系 $\dot{x}=Ax+Bu$, $y=Cx$ に、出力の積分 $\dot{z}=-y$（$z\in {\mathbb{R}}^p$）を付け加えた拡大系
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)=\tilde{A}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)+\tilde{B}u,\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ -C& O\end{array}\right),\tilde{B}=\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)$$
を考える（$\tilde{A}$ は $(n+p)$ 次正方行列）。

拡大系 $(\tilde{A},\tilde{B})$ が可制御であるための必要十分条件は、「$(A,B)$ が可制御」かつ
$$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& O\end{array}\right)=n+p$$
であることを証明せよ。

ただし、次の可制御性の判定法（PBH テスト）は用いてよい: $F\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$, $G\in {\mathbb{R}}^{N\times r}$ について、$(F,G)$ が可制御であることと、すべての $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}\lambda I_N-F& G\end{array}\right)=N$ であることは同値である。