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制御理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学制御理論

正の実数 $a, b, c$ が $c < a + b$ を満たすとする。開ループ伝達関数
$L (s) = \frac{K ( s + c )}{s ( s + a ) ( s + b )}$
（ $K$ は実数のゲイン）をもつ単一フィードバック系を考え、その特性多項式を
$φ_{K} (s) = s (s + a) (s + b) + K (s + c)$
とする。閉ループ系が安定であるとは、 $φ_{K} (s)$ の根の実部がすべて負であることと定める。

このとき、閉ループ系が安定であるための必要十分条件は $K > 0$ であることを証明せよ。

ただし、次のフルビッツの安定判別法は用いてよい: 実係数の 3 次多項式 $s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ の根の実部がすべて負であるための必要十分条件は、フルビッツ行列
$H = a_{2} 10 a_{0} a_{1} a_{2} 00 a_{0}$
の首座小行列式 $Δ_{1}, Δ_{2}, Δ_{3}$ （左上の $k \times k$ 部分の行列式, $k = 1, 2, 3$ ）がすべて正であることである。

この問題で使うもの

ラウス・フルビッツの安定判別（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$φ_{K} (s)$ を展開して $s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ の形にし、フルビッツの判別法の 3 つの条件を $K$ の式で書きましょう。「必要性」と「十分性」を分けて示します。

ヒント 2

$Δ_{2} = a_{2} a_{1} - a_{0}$ で、 $Δ_{3}$ は第 3 列で展開すると $a_{0} Δ_{2}$ になります。仮定 $c < a + b$ は $Δ_{2}$ の $K$ の係数の符号を決めるのに使います。

ヒント 3

係数は $a_{2} = a + b$ , $a_{1} = ab + K$ , $a_{0} = K c$ で、 $Δ_{1} = a + b > 0$ , $Δ_{2} = ab (a + b) + K (a + b - c)$ , $Δ_{3} = K c Δ_{2}$ となります。安定性は「 $Δ_{2} > 0$ かつ $K c Δ_{2} > 0$ 」と同値です。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$φ_{K} (s) = s^{3} + (a + b) s^{2} + (ab + K) s + K c$ と展開し、係数 $a_{2}, a_{1}, a_{0}$ を正しく特定している（2 点）
$Δ_{1} = a + b$ , $Δ_{2} = ab (a + b) + K (a + b - c)$ , $Δ_{3} = K c Δ_{2}$ を正しく計算し、 $Δ_{1} > 0$ が常に成り立つことを述べている（3 点）
必要性: 安定なら $Δ_{2} > 0$ と $Δ_{3} > 0$ から $K c > 0$ を導き、 $c > 0$ を使って $K > 0$ を結論している（2 点）
十分性: $K > 0$ のとき、仮定 $c < a + b$ を使って $Δ_{2} > 0$ を示し、さらに $Δ_{3} > 0$ を示して安定性を結論している（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 1: 特性多項式の係数. 展開すると
$s (s + a) (s + b) = s^{3} + (a + b) s^{2} + ab s$
なので
$φ_{K} (s) = s^{3} + (a + b) s^{2} + (ab + K) s + K c .$
これは最高次の係数が $1$ の実係数 3 次多項式で、フルビッツの判別法の記号で
$a_{2} = a + b, a_{1} = ab + K, a_{0} = K c$
である。

ステップ 2: 首座小行列式の計算.
$Δ_{1} = a_{2} = a + b,$
$Δ_{2} = det (a_{2} 1 a_{0} a_{1}) = a_{2} a_{1} - a_{0} = (a + b) (ab + K) - K c = ab (a + b) + K (a + b - c),$
$Δ_{3} = det H .$
$H$ の第 3 列は $(0, 0, a_{0})^{⊤}$ なので、第 3 列について余因子展開すると
$Δ_{3} = a_{0} det (a_{2} 1 a_{0} a_{1}) = a_{0} Δ_{2} = K c Δ_{2} .$

フルビッツの判別法（問題文で用いてよいとされたもの）により、閉ループ系が安定であることは「 $Δ_{1} > 0$ かつ $Δ_{2} > 0$ かつ $Δ_{3} > 0$ 」と同値である。 $a, b > 0$ より $Δ_{1} = a + b > 0$ は $K$ によらず常に成り立つので、安定性は
$Δ_{2} > 0 かつ K c Δ_{2} > 0 (1)$
と同値である。

ステップ 3: 必要性（安定 $\Rightarrow K > 0$ ）. 閉ループ系が安定であるとすると $(1)$ が成り立つ。 $Δ_{2} > 0$ なので、 $K c Δ_{2} > 0$ の両辺を正の数 $Δ_{2}$ で割って $K c > 0$ を得る。さらに $c > 0$ なので $K > 0$ である。

ステップ 4: 十分性（ $K > 0 \Rightarrow$ 安定）. $K > 0$ とする。 $a, b > 0$ より $ab (a + b) > 0$ 、また仮定 $c < a + b$ より $a + b - c > 0$ なので $K (a + b - c) > 0$ 。よって
$Δ_{2} = ab (a + b) + K (a + b - c) > 0.$
さらに $K > 0$ , $c > 0$ より $K c > 0$ なので $Δ_{3} = K c Δ_{2} > 0$ 。したがって $(1)$ が成り立ち、閉ループ系は安定である。

結論. ステップ 3, 4 より、 $0 < c < a + b$ のもとで、閉ループ系が安定であるための必要十分条件は $K > 0$ である。 $■$

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