制御理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学制御理論

$n$ を正の整数とし、 $D (s)$ を実係数の $n$ 次モニック多項式、 $N (s)$ を次数が $n$ 未満の実係数多項式（零多項式でもよい）とする。 $L (s) = N (s) / D (s)$ とおき、すべての $ω \in R$ で $D (j ω) \neq = 0$ が成り立つと仮定する（ $j$ は虚数単位）。実数 $k$ に対し、多項式
$P_{k} (s) = D (s) + k N (s)$
を（開ループ伝達関数 $k L (s)$ の単位フィードバック系の）特性多項式とよび、 $P_{k} (s)$ のすべての根の実部が負であるとき、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定であるという。

いま、 $k = 1$ の閉ループ系は安定であり、さらに
$η = ω \in R in f ∣1 + L (j ω) ∣$
が $η > 0$ を満たすとする。このとき、
$1 - \frac{1}{k} < η$
を満たすすべての正の実数 $k$ について、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: 次数 $n$ のモニックな複素係数多項式 $s^{n} + c_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + c_{0}$ について、その根の実部の最大値は係数 $(c_{0}, \dots, c_{n - 1}) \in C^{n}$ の連続関数である。

この問題で使うもの

関数の連続性と中間値の定理（説明と入口の問題）
安定余裕を指定した安定判別（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（84 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ゲインを $k = 1$ から連続的に動かしたとき、閉ループ極が左半平面から右半平面へ移るには、途中で必ず虚軸を通らなければなりません。この「虚軸を通れない」ことを示す方針で考えましょう。

ヒント 2

$P_{k} (j ω) = 0$ なら $L (j ω) = - 1/ k$ です。このとき $∣1 + L (j ω) ∣$ はいくつになるでしょうか。また、根の実部の最大値 $μ (k)$ を $k$ の関数として見ると、使ってよい事実から連続になります。

ヒント 3

条件 $∣1 - 1/ k ∣ < η$ を満たす正の $k$ の集合 $J$ が $1$ を含む区間であることを確かめ、 $k \in J$ では $P_{k}$ が虚軸上に根をもたないこと（ $μ (k) \neq = 0$ ）を示しましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

条件 $∣1 - 1/ k ∣ < η$ を満たす正の $k$ の集合が $1$ を含む区間であることを示している（2 点）
$P_{k} (j ω) = 0$ と仮定して $D (j ω) \neq = 0$ で割り、 $L (j ω) = - 1/ k$ から $∣1 + L (j ω) ∣ = ∣1 - 1/ k ∣ < η$ を導いて $η$ が下限であることに矛盾させ、虚軸上に根がないことを示している（3 点）
$de g N < n$ から $P_{k}$ がどの $k$ でも $n$ 次モニック多項式で係数が $k$ に連続に依存することを確かめ、根の実部の最大値 $μ (k)$ が $k$ の連続関数であることを述べている（2 点）
$μ (1) < 0$ と、区間 $J$ 上で $μ (k) \neq = 0$ であることから、中間値の定理で $J$ 上 $μ (k) < 0$ を導き、閉ループ系の安定性を結論している（3 点）

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模範解答を読む

方針. $J = {k > 0 ∣ ∣1 - 1/ k ∣ < η}$ とおく。 $J$ が $1$ を含む区間であること、 $k \in J$ では $P_{k}$ が虚軸上に根をもたないことを示し、根の実部の最大値の連続性と中間値の定理で、 $k = 1$ での安定性を $J$ 全体に広げる。

ステップ 1: $J$ は $1$ を含む区間である. $k > 0$ のとき、
$1 - \frac{1}{k} < η ⟺ 1 - η < \frac{1}{k} < 1 + η .$
$1/ k > 0$ なので、これは $1/ k \in I := (max {0, 1 - η}, 1 + η)$ と同値である。 $η > 0$ より $max {0, 1 - η} < 1 < 1 + η$ なので $I$ は $1$ を含む空でない開区間である。写像 $t \mapsto 1/ t$ は $(0, \infty)$ 上の連続な狭義単調減少関数で、区間を区間に移すから、 $J = {k > 0 ∣ 1/ k \in I}$ も区間であり、 $1/1 = 1 \in I$ より $1 \in J$ 。具体的には $η < 1$ なら $J = (\frac{1}{1 + η}, \frac{1}{1 - η})$ 、 $η \geq 1$ なら $J = (\frac{1}{1 + η}, \infty)$ である。

ステップ 2: $k \in J$ なら $P_{k}$ は虚軸上に根をもたない. 背理法による。 $k \in J$ と $ω \in R$ について $P_{k} (j ω) = 0$ と仮定する。仮定より $D (j ω) \neq = 0$ なので、 $D (j ω) + k N (j ω) = 0$ を $D (j ω)$ で割って
$1 + k L (j ω) = 0, すなわち L (j ω) = - \frac{1}{k}$
（ $k > 0$ なので $k$ で割れる）。すると
$∣1 + L (j ω) ∣ = 1 - \frac{1}{k} < η$
となるが、 $η$ はすべての実数 $ω$ にわたる $∣1 + L (j ω) ∣$ の下限なので $∣1 + L (j ω) ∣ \geq η$ であり、矛盾する。よって $P_{k}$ は虚軸上に根をもたない。

ステップ 3: 根の実部の最大値の連続性. $de g N < n$ で $D$ は $n$ 次モニックなので、すべての実数 $k$ について $P_{k} = D + k N$ も $n$ 次モニック多項式であり、その $s^{i}$ の係数（ $0 \leq i \leq n - 1$ ）は $d_{i} + k ν_{i}$ （ $d_{i}, ν_{i}$ はそれぞれ $D, N$ の $s^{i}$ の係数で、 $N$ に現れない次数では $ν_{i} = 0$ ）となり、 $k$ の連続関数である。 $P_{k}$ の根の実部の最大値を $μ (k)$ とおくと、問題文で用いてよいとされた事実と、連続関数の合成が連続であることから、 $μ$ は $R$ 上の連続関数である。

ステップ 4: 中間値の定理. ステップ 2 より、 $k \in J$ では $P_{k}$ のどの根も実部が $0$ でない。 $μ (k)$ はある根の実部に等しいので、 $k \in J$ ならば $μ (k) \neq = 0$ である。また $k = 1$ の閉ループ系は安定なので $μ (1) < 0$ 。

ある $k_{1} \in J$ で $μ (k_{1}) > 0$ となったと仮定する。 $J$ は区間（ステップ 1）で $1, k_{1} \in J$ なので、 $1$ と $k_{1}$ を両端とする閉区間は $J$ に含まれる。 $μ$ はその上で連続で、両端で異符号である。中間値の定理より、その間のある $k_{2} \in J$ で $μ (k_{2}) = 0$ となり、 $k \in J$ で $μ (k) \neq = 0$ であることに矛盾する。よってすべての $k \in J$ で $μ (k) < 0$ 。

結論. $μ (k) < 0$ は $P_{k}$ のすべての根の実部が負であることを意味する。したがって、 $∣1 - 1/ k ∣ < η$ を満たすすべての正の実数 $k$ について、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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