安定余裕を指定した安定判別

$s = z - σ$ と置き換えた多項式にラウスの判別法を使い、閉ループ極がすべて $Re s < - σ$ に入るようなゲイン $K$ の範囲を求められる

前提

ラウス・フルビッツの安定判別（大学院数学制御理論）

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算数中学高校大学大学院

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ラウス・フルビッツの安定判別（大学院数学制御理論）

説明

閉ループ極の実部がすべて負であれば系は安定ですが、極が虚軸に近いと応答がなかなか収束せず、パラメータが少し変わっただけで不安定になりかねません。そこで「すべての極が $Re s < - σ$ （ $σ > 0$ ）の範囲にある」という、余裕をもたせた安定条件を課すことがあります。この技能では、特性多項式に $s = z - σ$ を代入して $z$ の多項式に直し、それにラウスの判別法を使うことで、この条件を満たすゲイン $K$ の範囲を求めます。極がすべて $Re s < - σ$ にあれば、応答は $e^{- σ t}$ より速く減衰します。

なぜそうしてよいのか

平行移動で「虚軸」を動かす. ラウスの判別法は、実係数の多項式の根がすべて $Re < 0$ の範囲にあるかどうかを判定する道具です。判定したい境界は虚軸ではなく直線 $Re s = - σ$ なので、この直線が虚軸に重なるように複素平面を平行移動します。 $z = s + σ$ とおく（すなわち $s = z - σ$ ）と、 $Re z = Re s + σ$ なので
$Re s < - σ ⟺ Re z < 0$
です。特性多項式 $p (s)$ の根 $s_{k}$ と、 $q (z) = p (z - σ)$ の根 $z_{k} = s_{k} + σ$ は 1 対 1 に対応し、重複度も同じです。よって「 $p (s)$ の根がすべて $Re s < - σ$ 」は「 $q (z)$ の根がすべて $Re z < 0$ 」と同値になり、 $q (z)$ にふつうのラウスの判別法を使えばよいのです。

$q (z)$ にラウスを使ってよい理由. $σ$ は実数なので、 $q (z) = p (z - σ)$ を展開した係数はすべて実数（ $K$ の 1 次式など）で、最高次の係数も $p$ と同じです。したがって $q (z)$ はラウスの判別法の前提を満たす実係数多項式です。境界の値の $K$ では、 $q (z)$ が $z = 0$ または $z = \pm j ω_{0}$ （虚軸上）に根をもち、これはもとの $s$ では $s = - σ$ や $s = - σ \pm j ω_{0}$ 、つまり直線 $Re s = - σ$ の上の極に当たります。

手順

特性方程式 $1 + L (s) = 0$ の分母を払って、特性多項式 $p (s)$ （ $K$ を含む）を作る。
$s = z - σ$ を代入し、 $q (z) = p (z - σ)$ を $z$ について展開して降べきの順に整理する。
$q (z)$ の係数でラウス表を作る。3 次 $a_{3} z^{3} + a_{2} z^{2} + a_{1} z + a_{0}$ （ $a_{3} > 0$ ）なら、条件は $a_{2} > 0, a_{1} > 0, a_{0} > 0, a_{2} a_{1} > a_{3} a_{0}$ 。
ラウス表の第 1 列がすべて正になる条件を $K$ の不等式として書き、共通部分を求める（不等号はすべて厳密）。
検算として、境界の $K$ で $q (z)$ が $z = 0$ や $z = \pm j ω_{0}$ を根にもつことを確かめる。

例題

開ループ伝達関数 $L (s) = \frac{K}{s ( s + 3 ) ( s + 6 )}$ （ $K$ は実数）の単位負帰還系を考える。閉ループ極がすべて $Re s < - 1$ を満たすような $K$ の範囲を求めよ。

例題の解答

手順 1（特性多項式）. $1 + L (s) = 0$ の分母を払うと
$p (s) = s (s + 3) (s + 6) + K = s^{3} + 9 s^{2} + 18 s + K .$

手順 2（ $s = z - 1$ を代入）. $σ = 1$ なので $s = z - 1$ とおくと $s + 3 = z + 2$ , $s + 6 = z + 5$ より
$q (z) = (z - 1) (z + 2) (z + 5) + K .$
$(z - 1) (z + 2) = z^{2} + z - 2$ に $z + 5$ を掛けて $z^{3} + 6 z^{2} + 3 z - 10$ 。よって
$q (z) = z^{3} + 6 z^{2} + 3 z + (K - 10) .$

手順 3（ラウス表）.
$z^{3} z^{2} z^{1} z^{0} 16 \frac{6 \cdot 3 - 1 \cdot ( K - 10 )}{6} = \frac{28 - K}{6} K - 10 3 K - 10$

手順 4（条件）. 第 1 列がすべて正になる条件は $\frac{28 - K}{6} > 0$ かつ $K - 10 > 0$ 、すなわち $10 < K < 28$ 。

手順 5（検算）. $K = 10$ では $q (z) = z (z^{2} + 6 z + 3)$ で $z = 0$ 、つまり $s = - 1$ に極がある。 $K = 28$ では $q (z) = z^{3} + 6 z^{2} + 3 z + 18 = (z^{2} + 3) (z + 6)$ で $z = \pm j 3$ 、つまり $s = - 1 \pm j 3$ に極がある。どちらも直線 $Re s = - 1$ 上で、境界として正しい。（参考: 単なる安定の条件は $p (s)$ のラウス表から $0 < K < 162$ で、余裕を要求すると範囲がかなり狭くなる。）

よって $10 < K < 28$ 。

答え: $(10, 28)$

よくある誤り

置き換えの向きを逆にして $s = z + σ$ を代入してしまう誤り。これは $Re s < σ$ の判定になり、条件が緩くなる。正しくは $Re s < - σ ⟺ Re (s + σ) < 0$ なので $z = s + σ$ 、つまり $s = z - σ$ を代入する。例題で $s = z + 1$ とすると $q (z) = (z + 1) (z + 4) (z + 7) + K$ となり、別の範囲が出てしまう。
もとの $p (s)$ の係数のまま、定数項だけを $p (- σ)$ に取り替えるなど、展開を省略してしまう誤り。正しくは $p (z - σ)$ をすべての次数について展開し直す。例題では $z^{2}$ の係数が $9$ から $6$ に、 $z$ の係数が $18$ から $3$ に変わる。
$q (z)$ の係数に負のものがあるのを見落としてラウス表の計算を進めてしまう誤り。例えば $L (s) = \frac{K}{s ( s + 2 ) ( s + 4 )}$ で $σ = 1$ とすると $q (z) = z^{3} + 3 z^{2} - z + (K - 3)$ で、 $z$ の係数が $- 1 < 0$ なので、どんな $K$ でも条件は満たされない（答えは空集合）。係数の符号はまず確認する。
境界の値を含めて $10 \leq K \leq 28$ としてしまう誤り。正しくは、 $K = 10$ や $K = 28$ では極がちょうど $Re s = - 1$ 上にあり、 $Re s < - 1$ （厳密な不等号）を満たさないので、開区間 $10 < K < 28$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
開ループ伝達関数が
$L (s) = \frac{K}{( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 )} (K は実数)$
で与えられる単位負帰還系を考える。閉ループ系の極、すなわち特性方程式
$(s + 2) (s + 4) (s + 6) + K = 0$
の根（複素数の範囲で考える）が、すべて $Re s < - 1$ を満たすような $K$ の値の範囲を求めよ。

安定余裕を指定した安定判別

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題