制御理論の問題

特性多項式を展開すると
$$s(s+3)(s+6)+K=s^3+9s^2+18s+K.$$
すべての根が $\mathrm{Re}s<-1$ を満たすことは、$s=z-1$ と置き換えた $z$ の多項式のすべての根が $\mathrm{Re}z<0$ を満たすこと（安定多項式であること）と同値である。

$s=z-1$ を代入すると
$$\begin{array}{rl}(z-1{)}^3+9(z-1{)}^2+18(z-1)+K& =(z^3-3z^2+3z-1)+(9z^2-18z+9)+(18z-18)+K\\ & =z^3+6z^2+3z+(K-10).\end{array}$$

3 次多項式 $z^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0$ がフルビッツ安定である必要十分条件は
$$a_2>0,a_1>0,a_0>0,a_2{a}_1>a_0$$
である（ラウス表 $\begin{array}{ccc}{z}^3& 1& a_1\\ z^2& a_2& a_0\\ z^1& \frac{a_2{a}_1-a_0}{a_2}& \\ z^0& a_0& \end{array}$ の第 1 列がすべて正となる条件）。

ここで $a_2=6>0$, $a_1=3>0$ であり、残りの条件は
$$K-10>0,6\cdot 3>K-10.$$
よって $10<K<28$。

（端点の確認: $K=10$ のとき $z=0$、すなわち $s=-1$ が根になり、$K=28$ のとき $z^3+6z^2+3z+18=(z+6)(z^2+3)$ より $s=-1\pm \sqrt{3}i$ が根になる。どちらも実部がちょうど $-1$ なので含まれない。）

したがって求める範囲は $10<K<28$、すなわち区間 $(10,28)$ である。

特性方程式は $s^3+9s^2+18s+K=0$。$\mathrm{Re}s<-1$ ⇔ $z=s+1$ とおくと $\mathrm{Re}z<0$。$s=z-1$ を代入する。

$(z-1{)}^3+9(z-1{)}^2+18(z-1)+K=(z^3-3z^2+3z-1)+(9z^2-18z+9)+(18z-18)+K=z^3+6z^2+3z+(K-10)$。

この 3 次式 $z^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0$（$a_2=6,a_1=3,a_0=K-10$）の根がすべて $\mathrm{Re}z<0$ であるための必要十分条件は、ラウス・フルビッツの条件 $a_2>0,a_1>0,a_0>0,a_2{a}_1>a_0$ である。

• $a_0>0$: $K>10$
• $a_2{a}_1>a_0$: $18>K-10$ ⇔ $K<28$

よって $10<K<28$。

検算: $K=28$ のとき $z^3+6z^2+3z+18=(z+6)(z^2+3)$ で根 $z=\pm i\sqrt{3}$ が虚軸上（境界）。$K=10$ のとき $z(z^2+6z+3)=0$ で $z=0$ が根（境界）。$K=20$ では $z^3+6z^2+3z+10$ で、ラウス表の第 1 列は $1,6,(18-10)/6=4/3,10$ がすべて正で安定。区間の外、例えば $K=0$ では $s=0$ が根で $\mathrm{Re}s=0>-1$ となり不適。